Тогда обратная замена:
Уравнение торса в новых координатах примет вид:
Обозначим U, V теми же символами u, v тогда уравнение торса перепишется следующим образом:
Рассмотрим на торсе (29) кривую
u=u(t), v=v(t).(30)
Получим ее уравнение в виде:
Направляющий вектор касательной:
Касательная к любой кривой, лежащей на торсе и проходящей через данную точку N, лежит в плоскости
Найдем векторы
Таким образом, плоскость
Получена теорема.
Теорема 4.1. Касательная плоскость к торсу в произвольной точке прямолинейной образующей совпадает с соприкасающейся плоскостью к ребру возврата в точке касания прямолинейной образующей.
Построим канонический репер в произвольной точке N торса. Будем считать параметр u естественным параметром ребра возврата. Тогда согласно
(9):
Введем следующие обозначения:
Тогда
Вектора
Уравнение (33) целиком определяется торсом. Этот репер
Найдем деривационные формулы канонического репера торса
§5. Линии на торсах пространства Минковского
Рассмотрим торс в пространстве Минковского, заданный уравнением (29)
Будем считать, что соприкасающийся флаг ребра возврата
Определение 5.1. Кривая d: u=u(t); v=v(t) (35) на торсе Т называется (k,n) – геодезической, если соприкасающаяся n - плоскость этой кривой в каждой точке содержит k – мерную нормаль к торсу.
Возможны варианты: (1,2); (1,3); (2,3). Выясним существуют ли такие геодезические кривые на торсе данного типа. Касательная плоскость к торсу в точке L есть плоскость
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Нормаль к торсу