Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью (стр. 6 из 8)

Определение 4.1. Торсом в пространстве 1R4, определенном кривой g называется поверхность, образованная всеми касательными к этой кривой.

Сама кривая g называется ребром возврата этого торса. Каждая касательная к ребру возврата называется прямолинейной образующей торса.

Уравнение торса

(21)

(21) – уравнение торса, определяемого ребром возврата

.

На ребре возврата

выберем естественную параметризацию. Пусть t=t(s), тогда и s=i.

Свойства естественной параметризации:

1.

;

. Значит

2.

;

(

)==1 ()+ ()=0;

2(

)=0()=0

Исследуем торс (21) в пространстве 1R4, обозначив при этом t = u, t = v.

Тогда уравнение торса (21) запишется в виде:

. (22)

По теореме о развертывающейся линейчатой поверхности векторы

должны лежать в одной плоскости. Очевидно, что данные вектора лежат в одной плоскости, т.к. два из них одинаковы. Следовательно, торс развертывающаяся линейчатая поверхность, а значит, касательная плоскость к торсу в любой его точке не зависит от параметра v, что легко доказать. Действительно из формул (22) получим:

Þ

Это означает, что базисы {

} и {} выражаются друг через друга. Из этого следует, что

(23),

при любом параметре v, значит касательная плоскость к торсу одна и та же вдоль образующей. Известно, что соприкасающаяся плоскость к кривой g в точке M определяется векторами

. Таким образом, исходя из формулы (23) получим, что соприкасающаяся плоскость ребра возврата g - есть касательная плоскость к торсу.

Рассмотрим торс пространства 1R4, порожденной кривой

определяемый уравнением (23). Введем координатные линии на поверхности торса: u-линии (v=c) и v-линии (u=c). Найдем скалярное произведение векторов

(24)

В общем случае относительно величин

и ничего сказать нельзя. Поэтому будем делать предположение относительно кривой g. Предположим, что касательный вектор к кривой g во всех точках является вектором действительной длины. На ребре возврата g выбираем естественную параметризацию. Пусть u=u(s), тогда и Параметр s обозначим через u, получим , т.е. вектор имеет постоянную длину, тогда поскольку , из (24) следует, что , а значит координатные линии на торсе в такой системе координат не ортогональны. Перейдем к новым координатам U и V так, чтобы координатные линии были ортогональны, причем заметим, чтоv-линии – это прямолинейные образующие торса. При переходе к новым координатам потребуем, чтобы семейство v-линий осталось прежним, а u-линии изменились и стали перпендикулярны v-линиям. Таким образом, перед нами стоит задача отыскания ортогональных траекторий к прямолинейным образующим торса.

Рассмотрим первую квадратичную форму поверхности, которая при условии, что касательная плоскость к торсу является псевдоевклидовой.

Пусть S – гладкая поверхность,

- ее векторное уравнение и

Первой квадратичной формой поверхности S называют выражение I=

.

Запишем это выражение подробнее. Имеем

откуда

. (25)

Выражение (25) в каждой точке поверхности S представляет собой квадратичную форму от дифференциалов du и dv.

Для коэффициентов первой квадратичной формы часто используют следующие обозначения:

.

Таким образом первая квадратичная форма имеет вид:

(26)