Дифференциальная геометрия торсов в пространстве 1R4 с псевдоевклидовой касательной плоскостью (стр. 3 из 8)
Таким образом, ортогональным дополнением к векторам
является множество векторов 
. Эти векторы определяют 2-плоскость 
которая является 2-плосткостью вида 1R2. Следовательно, R2 ^1R2 (к двумерной плоскости R2 ортогональной является плоскость вида 1R2).Найдем множество векторов, ортогональных к векторам
. Если вектор 
ортогонален 
, то 
Отсюда, 
Û 
Таким образом, ортогональным дополнением к векторам
является множество векторов 
. Эти векторы определяют 2-плоскость 
которое является 2-плосткостью вида R2, Следовательно, R2 ^1R2 (к двумерной плоскости R2 ортогональной является плоскость вида 1R2). Верно и обратное. 
Найдем множество векторов, ортогональных к векторам 
Если вектор 
ортогонален 
, то
Отсюда,
ÛÛ
Таким образом, ортогональным дополнением к векторам
является множество векторов 
. Эти векторы определяют 2-плоскость 
которая является 2-плосткостью вида 
. Следовательно, 
^ .  |
Таким образом, получена теорема.
Теорема 1.1. В пространстве 1R4 существуют следующие типы прямых, плоскостей и 3-плоскостей:
- прямые: R1, 1R1,
.- 2-плоскости: R2, 1R2,
.- 3-плоскости: R3, 1R3,
.§2. Кривые в пространстве 1R4
В пространстве 1R4 выберем базис
,где
Точка MÎ1R4, имеющая в репере R координаты ( 
): M( )R.Определение 2.1. Кривой в пространстве 1R4 называется множество точек этого пространства, координаты которых задаются уравнениями:
(6)Или в векторном виде
. (7)Определение 2.2. Функция, имеющая непрерывные производные до k-го порядка включительно на отрезке [a,b], называется k раз дифференцируемой функцией на этом отрезке.
Определение 2.3. Кривая g называется дифференцируемой класса Сk, если функции (6), задающие параметрические уравнения, являются k раз дифференцируемыми функциями.
Пусть кривая g является кривой класса C3. Рассмотрим на дифференцируемой кривой g вектора:
.Определение 2.4. Точка M, принадлежащая кривой g, называется неособой, если в этой точке вектора
, 
линейно независимы. В противном случае точка M кривой g называется особой.Определение 2.5. Прямая
называется касательной к кривой в точке M, 2-плоскость 
называется соприкасающейся плоскостью кривой g, 3-плоскость 
называется соприкасающейся 3-плоскостью кривой g в точке M. 
Очевидно,
Ì 
Ì 
.Теорема 2.1. Кривая g имеет в каждой точке касательную и притом единственную.
Если r=r(t) - векторное уравнение кривой, то касательная в точке Р, соответствующей значению параметра t, имеет направление вектора r'(t).
Теорема 2.2. Кривая g имеет в каждой точке соприкасающуюся плоскость. При этом соприкасающаяся плоскость либо единственная, либо любая плоскость, содержащая касательную к кривой, является соприкасающейся.
Если r=r(t) – уравнение кривой g, то соприкасающаяся плоскость в точке, соответствующей значению параметра t, параллельна векторам r'(t) и r''(t).
Теорема 2.3. Задание касательной, соприкасающейся плоскости и соприкасающейся 3-плоскости корректно, т.е. не зависит от параметризации кривой.
Для доказательства достаточно перейти к новому параметру и сравнить направляющие вектора.
Определение 2.5. Соприкасающийся флаг – это совокупность, состоящая из точки кривой, касательной к кривой в этой точке, соприкасающейся 2-плоскости к кривой в этой точке и соприкасающейся 3-плоскости к кривой в этой точке. [M,
], M Ì Ì Ì .Соприкасающийся флаг может быть следующих видов.
10. {M, R1, R2, R3}. Например,
20. {M, R1, 1R2, 1R3}. Например,
30. {M, R1,
, 1R3}. Например, 
40. {M, R1,
, }. Например, 
50. {M, 1R1, 1R2, 1R3}. Например,
60. {M,
, , 1R3}. Например, 
70. {M,
, 
, }. Например, 