Старший и верхний центральный показатели линейной системы (стр. 1 из 6)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИБЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Допущена к защите
Зав. кафедрой
СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Дипломная работа
Исполнитель:
студентка группы М-51 Абраменко Т. Ф.
Научный руководитель:
доцент кафедры дифференциальных
уравнений, к. ф.-м. н. Зверева Т.Е.
Рецензент:
доцент кафедры ВМ и
программирования, к. ф.-м. н. Смородин В.С.
Гомель 2003
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1 НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
2 СООТНОШЕНИЕ
3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами
3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами
4 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ НЕКОТОРОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ
4.1 Старший показатель некоторой линейной однородной диагональной системы
4.2 Верхний центральный показатель некоторой линейной однородной диагональной системы
5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В данной дипломной работе проводится изучение таких понятий, как верхний центральный показатель системы, характеристические показатели Ляпунова; рассматриваются различные соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейных систем, то есть рассматриваются случаи, когда старший показатель Ляпунова строго меньше, равен верхнему центральному показателю.
В дипломной работе проводится исследование конкретной линейной однородной диагональной системы: вычисляются характеристические показатели системы, находятся спектр системы, старший показатель системы, а также верхний центральный показатель этой же системы, устанавливается соотношение
На конкретном примере выясняется, что роль оценки сверху показателей решений возмущенных систем 
играет число
, а не 
.1. НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Определение 1.1 [1,с.123]. Наибольший из частичных пределов a функции
при 
называется ее верхним пределом: 
.Определение 1.2 [1,с.125]. Число (или символ
или 
), определяемое формулой 
.будем называть характеристическим показателем Ляпунова (или характерисическим показателем).
Для показательной функции
, очевидно, имеем 
.Лемма 1.1 [1,с.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы
совпадает с характеристическим показателем ее нормы, то есть 
.Для вектор-столбца
будем использовать одну из норм [1,с.20]:
= 
; = 
; = 
.Свойства характеристического показателя функции [1,с.126,128]:
1)
= 
, 
;2)
.Замечание 1.1 [1,с.130]. Если линейная комбинация функций
, 
,где
постоянны, содержит лишь одну функцию с наибольшим характеристическим показателем, то 
= 
.Определение 1.3 [1,с.142]. Система ненулевых вектор-функций
обладает свойством несжимаемости, если характеристичесий показатель любой существенной их линейной комбинации
, 
,где
постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых вектор-функций, то есть для всякой комбинации y имеем 
= 
.Определение 1.4 [1,с.137]. Множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от
и ) решений дифференциальной системы будем называть ее спектром.Теорема1.1 [1,с.143]. Фундаментальная система линейной системы
, 
где
и 
─ спектр системы , является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.Замечание 1.2 [1,с.142]. Совокупность вектор-функций с различными характеристическими показателями, очевидно, обладает свойством несжимаемости.
Следствие 1.1 [1,с.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.
Определение1.5 [2,с.71]. Наибольший верхний показатель
системы
будем называть старшим показателем.
Определение 1.6 [2,с.7]. Пусть
─ функция. Тогда верхнее среднее значение функции есть: 
= 
.