Старший и верхний центральный показатели линейной системы (стр. 6 из 6)
По определению 1.6 вычислим
, используя утверждение 1.2: 
.По определению 1.6 вычислим
, используя утверждение 1.2:
.Теперь рассмотрим все возможные случаи расположений отрезков
по отношению к отрезкам 
и 
.I. Если
, где 
, то 
,следовательно,
;II. если
, где , то 
,следовательно,
; 
III. если
,то
;IV. если
,то
;1) Для каждого
найдется такое 
, что выполняется 
.Тогда
;2) Для каждого
найдется такое , что выполняется 
.Тогда
.Из вышеперечисленных случаев 1) и 2) следует, что
, (**)для любого
такого, что 
, 
.Учитывая неравенство (**), перейдем к непосредственному доказательству неравенства
: 
.Теперь оценим выражение
.Очевидно, выполняется следующее неравенство:
.Перейдем к пределам:
, 
.Следовательно,
.Значит,
,то есть для любого
.По определению 1.11
.Таким образом,
для любого .По замечанию 1.4 получаем, что
.Следовательно,
.Так как мы доказали, что
(P), то есть 
- верхняя функция для семейства P, то, опираясь на определение 1.9, получаем, что 
,то есть
.А значит,
.Итак, в этом разделе был рассмотрен случай
.5. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ
Р.Э. Виноград ввел[5] понятие верхнего центрального показателя
системы 
. (1)Переход от невозмущенной системы (1) к возмущенной системе
сопровождается изменением показателей. Верхний центральный показатель
системы (1) и характеризует это изменение в определенном классе возмущений. Имеет место теорема Р.Э. Винограда.Теорема [2,с.164-166;3]. Для любого
можно указать 
, что при любых непрерывных возмущениях 
, 
,будут выполняться неравенства
.В.В. Миллионщиковым доказано, что последняя оценка неулучшаема, а именно
Теорема [4]. Для любого
найдется возмущение
Qe 
, ||Qe || 
,такое, что система
Qe 
имеет решение
, для которой 
.Значит, для рассмотренной в дипломной работе системы наиболее быстро растущими решениями «руководит» показатель
, а не показатель 
.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной дипломной работе рассматриваются соотношения между старшим
и верхним центральным 
показателями линейной системы 
с кусочно непрерывными ограниченными коэффициентами.
Показано, что существует два различных случая отношений между старшим
и верхним центральным показателями линейных систем: 
. На примере заданной линейной однородной диагональной системы дифференциальных уравнений подробно рассмотрены вычисления характеристического показателя Ляпунова, спектра, старшего и верхнего центрального показателей.СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Б.П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости.-
Москва, «Наука», 1967г.
2. Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, В.В. Немыцкий, Теория
показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости.- Москва, «Наука», 1966г.
3. Р.Э. Виноград, Оценка скачка старшего характеристического
показателя при малых возмущениях.-Докл. АН СССР, 1957г., т.114, №3, с.459-461.
4. В.М. Миллионщиков, Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем.- Сиб. мат.ж., 1969г., т.10, №1, с.99-104.
5. Р.Э. Виноград, О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений.- Матем.сб., 1957г., т.42(84), С.207-222.