Старший и верхний центральный показатели линейной системы (стр. 3 из 6)
Доказательство.
Для доказательства равенства
докажем два неравенства:
1)
;2)
.1) Из определения 1.7 следует, что
является верхней функцией, то есть 
, 
= 0;итак,
(P’).Следовательно,
.2) Пусть
─ любая верхняя функция семейства P’: 
для любой
(P’).Тогда по определению 1.6
.Так как
─ любое, то 
для любой функции
(P).Следовательно,
.Тем самым утверждение 2 доказано.
Следствие 1.(из утверждений 1 и 2)
Пусть P =
─ семейство кусочно непрерывных функций и равномерно ограниченных функций. Тогда если семейство P’ состоит из одной функции 
, то есть P’= , и P’ 
P , то верхнее среднее значение функции не превосходит верхнего центрального числа семейства P, то есть 
.Доказательство.
Так как P’
P, то из утверждения 1 следует, что 
(P’) 
(P)и
.Так как P’ состоит из одной функции, то есть P’=
, то из утверждения 2 следует, что 
.Следовательно,
,то есть
.Следствие 1 доказано.
Следствие 2.(из следствия 1)
Пусть P =
─ семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций. Тогда
.Доказательство.
Из следствия 1 вытекает, что для любого
выполняется 
.Следовательно,
.Следствие 2 доказано.
Воспользуемся доказательством следствия 2 для доказательства следующего утверждения.
Утверждение 3.
Пусть
─некоторая линейная система дифференциальных уравнений и
P =
─семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где
.Тогда старший показатель Ляпунова
не превосходит верхнего центрального числа 
семейства P, то есть 
.Доказательство.
Так как
,то
.Выразим из последнего равенства
: 
, 
.Тогда из определения 1.2 следует, что
[определение 1.6] 
,то есть
.Из этого следует, что
.Так как по определению 1.5
,то
.Тогда из следствия 2 получаем, что
.Так как по определению 1.9
,то
.(утверждение 3 доказано)
3 СТАРШИЙ И ВЕРХНИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами
Исследуем случай, когда матрица системы с произвольными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее
и 
.Рассмотрим диагональную систему
,где
─ вектор-функция размерности 
. Она имеет матрицу Коши 
,то есть
,с нормой
, где 
.По определению 1.2 найдем для каждой функции
ее характеристический показатель Ляпунова, используя определение 1.6:
.Получаем, что
.Из утверждения 1.3 и определения 1.5 вытекает, что
,так как матрица конечномерная.
По определению 1.9
P 
,