Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций (стр. 6 из 6)
(5)Доказательство. Проверим формулу:
Имеем:
Рассмотрим общий член этого ряда, содержащий произведения вида:
, где 
. Получим 
ибо
Таким образом,
.Используя чётность или нечётность функций
и 
, проверим справедливость формулы: 
Имеем
Аналогично проверяется справедливость формул
Теорема3.Для любых действительных 
и 
функция 
удовлетворяет уравнению
(6)Доказательство. По определению функции
имеем: 
Вычислим
- общий член ряда для суммы 
Далее,
Вычислим
- общий член ряда для произведения 
ибо
Получим, что 
при 
, а поскольку 
, то при любых действительных и имеет место равенство (6).Замечание1. Из формул сложения (3) и (4) следуют формулы двойного аргумента:
(7)Замечание2. Непосредственно из формул (3) и (7) получим:
Теорема4.Функция имеет по крайней мере один положительный нуль.
Доказательство. Так как для любого
то
и по теореме о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции
на 
имеет по крайней мере один нуль, т.е. существует число 
, такое, что 
.Теперь справедливы следующие утверждения.
1. Функция
имеет наименьший положительный нуль 
, иными словами, существует 
, такое, что 
.2. Имеют место равенства:
3. Функция
положительна на интервале 
, а функция - на интервале 
.4. Функция
возрастает на отрезке 
.5. Функция
убывает на отрезке 
и возрастает на отрезке 
.6.
.7. Нулями функции
являются числа 
и только такие числа, а функции 
- числа 
8. Функции
и являются периодическими с наименьшим положительным периодом 
.9. Имеют место формулы приведения:
10. Наименьший положительный нуль функции
равен 
.1. Архипов Б.М., Мазаник А.А., Петровский Г.Н., Урбанович М.И., Элементарные функции: Учеб. Пособие.- Мн.: Выш. шк., 1991.-140с.2. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления: том I-Спб.: Издательство «Лань», 1997.-800с.