Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций (стр. 5 из 6)

14. Нулями функции

являются числа вида и только эти числа.

Действительно, согласно тождеству

, нулями функции все те и только те числа , для которых . Последнее же уравнение на отрезке (длина которого равна периоду функции ) имеет два решения: и (на основании свойств 2,9,12 и замечания к свойству 12). Для завершения доказательства остаётся воспользоваться свойством 13 и заметить, что полученные две серии решений

,

уравнения

можно объединить в одну:

.

15. Справедливы следующие тождества (формулы приведения):

Доказательство. Убедимся, например, что

.

Учитывая свойства 4, 2, замечание к лемме 2 и свойство 3, имеем

.

Аналогично убеждаемся в справедливости остальных тождеств.

16. Наименьший положительный нуль функции

равен .

Доказательство. Рассмотрим на координатной плоскости

круг . Его площадь, как известно, равна . С другой стороны, эта площадь равна , где -площадь четверти данного круга, расположенной в первом квадранте. Так как

,

то

Вводя подстановку

и учитывая, что при возрастании от до функция (т.е. ) возрастает от до , получаем

Итак,

.

Глава2. Аналитическая теория тригонометрических функций

Функции действительной переменной, представимые в некотором интервале из

степенными рядами, называются аналитическими в этом интервале.

Тригонометрические функции являются аналитическими, т.е. могут быть представлены степенными рядам.

Рассмотрим степенные ряды

(1)

(2)

Эти ряды сходятся, и притом абсолютно, при любом действительном

, в чём легко убедиться по признаку Д’Аламбера. Действительно, при любом

,

.

Следовательно, функции

и как суммы соответствующих степенных рядов (1) и (2) определены и непрерывны на интервале . Более того, эти функции дифференцируемы на , причём

Функция

чётная, а нечётная, так как , для любого .

Установим ещё некоторые свойства функций

и .

Теорема1. Для любого действительного

. (3)

Доказательство. Имеем

Коэффициент при

можно представить в виде

ибо - число сочетаний из элементов по

Аналогично

Коэффициент при

можно представить в виде

ибо

При сложении

и коэффициент при будет равен

Выражение в скобках равно нулю, в чём можно убедиться, полагая

, в формуле бинома Ньютона

Таким образом,

.

Следствие. Функции

и ограниченные, причём и

Теорема 2.(теорема сложения для функций

и

). Для любых действительных

и

(4)