Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций (стр. 4 из 6)
т.е. функция
имеет нуль в интервале 
вопреки определению числа 
.9.
, 
; 
, 
.10. Функция
положительна на 
и отрицательна на 
.Доказательство.
1) Докажем, что
на . , (по свойству 9). Найдём 
: 
, т.к. 
, то 
, следовательно 
, т.е 
. Учитывая свойство 7 получим, что 
- наименьший положительный нуль функции .Учитывая, что
и свойство 7, получаем, что 
- наибольший отрицательный нуль функции .Таким образом, но интервале
функция не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция положительна в некоторой правосторонней окрестности точки 
(в силу того, что (по свойству 9) 
). Следовательно, на всём интервале , следовательно, и на .2) Докажем, что
на . (по свойству 9). Найдём 
: 
, т.к. 
, то 
, следовательно 
, т.е 
. Учитывая свойство 7 получим, что - наибольший отрицательный нуль функции .Таким образом, но интервале
функция не имеет нулей. По теореме Больцано-Коши функция будет знакопостоянной на этом интервале. Кроме того, функция отрицательна в некоторой правосторонней окрестности точки 
(в силу того, что , 
). Следовательно, на всём интервале .11.
.Действительно, из равенства
имеем , откуда, учитывая, что 
, получим .12. Функция
возрастает на 
и убывает на 
.Доказательство. Прежде всего, функция
непрерывна на каждом из отрезков и и дифференцируема на 
.Так как
, то учитывая свойство 10, 
на и 
на .Требуемое утверждение теперь непосредственно следует из теоремы о достаточных условиях убывания (возрастания) функции на промежутке.Замечание. Из свойства 2 и 12 следует, что функция убывает на
и возрастает на 
.13. Функции
, - периодические с периодом 
.Доказательство. Применяя теоремы сложения и учитывая, что
, 
, имеем при любом 
: 
, 
,т.е.
- период функций , .Докажем теперь, что ни одна из функций
, не имеет положительного периода, меньше . Действительно, наличие такого периода у функции противоречит свойству 7, а если бы таким периодом 
обладала функция , то мы имели бы 
, т.е. 
, откуда 
. Поэтому 
, т.е. 
, что невозможно.