Изучение и анализ различных способов определение тригонометрических функций (стр. 2 из 6)
, 
, 
; 
, 
.Таким образом, функции
и 
являются решением одной и той же задачи Коши 
, 
, 
. Поэтому (согласно теореме 1) 
на 
, т.е. 
для любого 
.Подобным же образом убеждаемся, что функция
является решением задачи Коши , 
, 
, следовательно, 
на .3. Имеет место тождество
.Доказательство. Полагая
и используя свойство 1, находим 
( 
),Вследствие чего
на . А так как 
, то 
на , т.е. 
на .Замечание. Из свойства 3 следует, что функции
и 
ограничены, причём 
, 
для любого .4. Справедливы следующие соотношения (теоремы сложения для функций и ):
( 
) (3) Доказательство. Введём в рассмотрение функции 
Считая (без ограничения общности)
постоянной, а 
переменной. Эти функции являются решениями уравнения , удовлетворяющими нулевым условиям. Действительно, так как 
, 
: 
так что
(на ), 
Аналогично
(на ), 
, 
.Следовательно, согласно теореме 1,
и 
на . Из этих тождеств непосредственно следуют требуемые соотношения.Замечание. Пологая в формулах (3)
, получаем следующие формулы удвоения: 
, 
( 
).Отсюда с учётом свойства 3 получаем:
, 
( ).Изучим теперь вопрос о нулях функций
, , т.е. о корнях уравнений 
, 
. Для краткости в дальнейшем нуль функции, принадлежащий 
, будем называть её положительным нулём.Так как
, то число 
является одним из нулей функции .Лемма1. Хотя бы одна из функций , обладает по крайней мере одним положительным нулём.
Доказательство. Предположим (от противного), что уравнения
, положительных решений не имеют. Тогда на функции и знакопостоянны. Действительно, если бы функция или в некоторых точках 
принимала значения противоположных знаков, то по теореме Больцано-Коши нашлась бы точка, заключённая между 
и 
, в которой эта функция обращалась бы в нуль вопреки допущению.Учитывая, далее, что
, заключаем, вследствие непрерывности , что положительна в некоторой окрестности точки , и, следовательно, 
на .Функция
возрастает на 
, так как 
на , а поскольку , то 
на . С учётом свойства 3 и положительности функций , на имеем