Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 9 из 11)

сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Группа

дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда

, где подгруппа

квазинормальна в

,

дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы

слабо нормальна в

.

Доказательство. Пусть

, где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в . Покажем, что группа дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа

группы

, содержащая

, дисперсивна по Оре.

Пусть

, где . Тогда

где

дисперсивна по Оре и квазинормальна в . Так как по лемме (2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).

(2) Пусть

- неединичная нормальная подгруппа в

, являющаяся

-группа для некоторого простого числа

. Допустим, что либо

содержит силовскую

-подгруппу

из

, либо

циклична, либо

. Тогда

дисперсивна по Оре.

Если

, то

дисперсивна по Оре. Пусть теперь

. Так как , то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

где

квазинормальна в и дисперсивна по Оре. Пусть силовская -подгруппа из и - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что - силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и , то

Предположим, что для некоторой подгруппы

из мы имеем

где

Тогда

Так как

- максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то , что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем

противоречие. Следовательно,

- максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,