Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 7 из 11)

Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть

- контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Каждая собственная подгруппа

группы

, содержащая

, сверхразрешима.

Пусть

, где . Тогда

где

нильпотентна и -квазинормальна в . Так как по лемме (2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).

(2) Пусть

- неединичная нормальная подгруппа в

. Предположим, что

-группа. Допустим, что

содержит силовскую

-подгруппу

из

, или

циклична, или

. Тогда

сверхразрешима.

Если

, то

нильпотентна. Пусть теперь

. Так как , то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что

где

-квазинормальна в и нильпотентна. Пусть силовская -подгруппа из и - произвольная максимальная подгруппа в . Пусть - силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что - силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы . Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что - максимальная в подгруппа. Так как и , то

Предположим, что для некоторой подгруппы

из мы имеем

где

Тогда

Так как

- максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то

что противоречит выбору подгруппы

. Значит, и поэтому мы имеем

противоречие. Следовательно,

- максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,

слабо нормальна в

. Следовательно, условия теоремы справедливы для .

(3)

и

сверхразрешима.

По выбору группы

, и поэтому сверхразрешима согласно (1).

(4)

- разрешимая группа.

По условию

-квазинормальна в и поэтому по лемме (3), содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как группа нильпотентна, то разрешима.