Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп (стр. 6 из 11)

Пусть

- силовская -подгруппа в , где . Тогда ввиду (6), . По условию, слабо нормальна в и поэтому имеет квазинормальную подгруппу , такую что и

Заключительное противоречие.

Пусть

- силовская -подгруппа в и . Тогда

По условию

имеет квазинормальную подгруппу , такую что и

Тогда

и поэтому

- дополнение для в , которое является квазинормальной в подгруппой. Если - -подгруппа из , где , то ввиду (7), имеет дополнение в , которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы ). Тогда по лемме , нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы .

Обратно, предположим, что

метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Предположим, что это не верно и пусть - контрпример минимального порядка. Тогда имеет силовскую подгруппу , которая не является слабо нормальной в . Пусть - произвольная минимальная нормальная подгруппа в и - подгруппа Фиттинга группы . Предположим, что . Тогда слабо нормальна в и поэтому по лемме (1), слабо нормальна в , противоречие. Значит, и поэтому

Так как по условию

метанильпотентна и - силовская подгруппа в , то имеет нормальное дополнение в . Но поскольку и - -группы, то - нормальное дополнение для в . Следовательно, слабо нормальна в . Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Пусть

- группа тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1)

- метанильпотентна;

(2)

, где подгруппа субнормальна в , - абелева холлова подгруппа в и каждая силовская подгруппа из слабо квазинормальна в ;

(3)

, где подгруппа -квазинормальна в , - нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .

Пусть

, где подгруппа

-квазинормальна в

,

нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из

слабо нормальна в

. Тогда

сверхразрешима.