Теория поля и элементы векторного анализа (стр. 3 из 3)

Нахождение векторного поля по его характеристикам

Для нахождения

и u нужно решить систему четырех уравнений

Пусть известны характеристики векторного поля

(1)

или в интегральной форме:

Будем искать распределение поля

. Для этого разложим его на потенциальное и вихревое .

= + (2)

Подставляя (2) в уравнение (1), получим систему уравнений для отыскания

:

(3)

Потенциальное поле удобно представить через градиент

(4)

т.к. в этом случае приходится находить всего лишь одну скалярную величину вместо трех. Подставляем (4) в первое уравнение (3), получаем уравнение

– уравнение Пуассона (5)

Его решение известно и имеет следующий вид:

. (6)

Соленоидальное (вихревое) поле будем искать через векторный потенциал

(7)

Тогда для

получаем следующее уравнение:

(8)

Т.к. поле

тоже векторное, то для его нахождения кроме rot необходимо задать еще одно условие на div . В качестве такого условия (которое заранее ниоткуда не вытекает) удобно выбрать div = 0 (это называется калибровкой Кирхгофа). В этом случае уравнение (8) упрощается

(8а)

и его решение имеет вид:

(9)

Следовательно, искомое поле

равно:

Интегральные соотношения теории векторного поля

1. Теорема Остроградского-Гаусса

2. Теорема Стокса

3. Теорема Грина

(первая форма)

(вторая форма)

4. Интеграл от скаляра по замкнутому контуру

5. Интеграл от

по объему

Используя теорему о среднем при

находим

– источник

– сток

6. Циркуляция вектора вдоль линии

Роток векторного поля

– элементарная циркуляция вектора вдоль линии L

– циркуляция вектора вдоль замкнутой линии.

Теорема Стокса

Механический смысл ротора векторного поля

Рассмотрим движение твердого тела. Линейная скорость

произвольной точки равна твердого тела равна

где

– скорость полюса

– мгновенная угловая скорость

Представим

Следовательно, компоненты скоростей т.М равны

В фиксированный момент времени t переменными являются только координаты т.

, все остальные величины , являются постоянными

=

Дифференцирование скалярных и векторных полей

Скалярное поле

Векторное поле

Таблица 1. Операции 2-го порядка

Скалярное поле j	Векторное поле А
grad	нет	;	нет
div		Нет
rot		нет

Таблица 2. Дифференцирование произведений

grad	нет		нет
div		нет
rot		нет	+