Алгоритмы с многочленами (стр. 7 из 9)
.Первое слагаемое суммы делится на х-с, а второе на х-с не делится; поэтому вся эта сумма на х-с не может делиться. Учитывая, что частное от деления f(x) на 
определено однозначно, мы получаем, что является наибольшей степенью двучлена х-с, на которую делится многочлен
.Применяя эту теорему несколько раз, мы получаем, что k-кратный корень многочлена f(x) будет (k-s)-кратным в s-й производной этого многочлена 
и впервые не будет служить корнем для k-й производной от f(x).
Пример. Найти производную
многочлена 
. 
.Я составила программу для нахождения первой производной многочлена.
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls, Grids;
type
TForm1 = class(TForm)
Edit1: TEdit;
Label1: TLabel;
SGd1: TStringGrid;
Label2: TLabel;
Button1: TButton;
Edit2: TEdit;
Edit3: TEdit;
Label3: TLabel;
Label4: TLabel;
procedure Button1Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
c,i,st:integer;
k,l,s:string;
kof:array[0..100] of integer;
implementation
{$R *.dfm}
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
st:=StrToInt(Edit1.Text);
for i:=0 to st do begin
if SGd1.Cells[i,0]<>'' then
kof[st-i]:=StrToInt(SGd1.Cells[i,0])
elseMessageDlg ('Внимание! Не введены значения коэффициентов!',mtWarning,[mbOK],0);
end;
s:='f(x)=';
for i:=st downto 0 do begin
if kof[i]<>0 then begin
if(kof[i-1]<0)or(i=0) then begin
str(kof[i],l);
str(i,k);
s:=s+l+'x^'+k;
end
else begin
str(kof[i],l);
str(i,k);
s:=s+l+'x^'+k+'+';
end;
end;
kof[i]:=kof[i]*i;
end;
Edit2.Text:=s;
s:='f1(x)=';
for i:=st downto 0 do begin
if kof[i]<>0 then begin
if(kof[i-1]<0)or(i=1) then begin
str(kof[i],l);
str(i-1,k);
s:=s+l+'x^'+k;
end
else begin
str(kof[i],l);
str(i-1,k);
s:=s+l+'x^'+k+'+';
end;
end;
Edit3.Text:=s;
end;
end;
end.
Существуют методы, позволяющие узнать, обладает ли данный многочлен кратными множителями, и в случае положительного ответа дающие возможность свести изучение этого многочлена к изучению многочленов, уже не содержащих кратных множителей.
Теорема. Если
является 
- кратным неприводимым множителем многочлена , 
, то он будет 
- кратным множителем производной этого многочлена. В частности, простой множитель многочлена. Не входит в разложение производной.В самом деле, пусть
, (5.1)причем
уже не делится на . Дифференцируя равенство (5.1), получаем: 
.Второе из слагаемых, стоящих в скобках, не делится на
. Действительно, не делится по условию, 
имеет меньшую степень, т.е. также не делится на . С другой стороны, первое слагаемое суммы, стоящей в квадратных скобках, делиться на , т.е. множитель , на самом деле входит в 
с кратностью .Из данной теоремы и из указанного выше способа разыскания наибольшего общего делителя двух многочленов следует, что если дано разложение многочлена
на неприводимые множители: 
, (5.2)то наибольший общий делитель многочлена
и его производной обладает следующим разложением на неприводимые множители: 
, (5.3)где множитель
следует при 
заменять единицей. В частности, многочлен тогда и только тогда не содержит кратных множителей, если он взаимно прост со своей производной.5.1. Выделение кратных множителей
Если дан многочлен
с разложением (5.2) и если через 
мы обозначим наибольший общий делитель и его производной 
то (5.3) будет разложением для 
. Деля (5.2) на (5.3), мы получим: 
т.е. получим многочлен, не содержащий кратных множителей, причем всякий неприводимый множитель для
, имеющего вообще говоря, меньшую степень и, во всяком случае, содержащего лишь простые множители. Если эта задача для будет решена, то останется определить лишь кратность найденных неприводимых множителей в , что достигается применением алгоритма деления.Усложняя изложенный сейчас метод, можно сразу перейти к рассмотрению нескольких многочленов без кратных множителей, причем, найдя неприводимые множители этих многочленов, мы не только найдем все неприводимые множители для
, но и будем знать их кратность.Пусть (5.2) будет разложением
на неприводимые множители, причем наивысшая кратность множителей есть 
, 
. Обозначим через 
произведение всех однократных множителей многочлена , через 
- произведение всех двукратных множителей, но взятых лишь по одному разу, и т.д., наконец 
- произведение всех -кратных множителей, также взятых лишь по одному разу; если при этом для некоторого 
в отсутствуют -кратные множители, то полагаем 
. Тогда будет делиться на - тую степень многочлена 
и разложение (5.2) примет вид 
а разложение (5.3) для
перепишется в виде 
обозначая через
наибольший общий делитель многочлена и его производной и вообще через 
наибольший общий делитель многочленов 
и 
, таким путем получим: