Пределы Сравнение бесконечно малых величин (стр. 3 из 3)

Число

используется для введения натуральных логарифмов. Такие логарифмы обозначаются , при этом .

Следствие 3.1.

.

В частности, если

, то .

Следствие 3.2.

.

В частности, если

, то .

4. Сравнение бесконечно малых величин

Как следует из определения бесконечно малых величин, все они стремятся к нулю, но скорость этого стремления может быть различна. Поэтому все бесконечно малые величины можно сравнивать между собой.

Пусть даны две бесконечно малые величины

и при , то есть , .

Определение 4.1. Функции

и называются бесконечно малыми величинами одного порядка малости, если .

Определение 4.4. Функция

называется бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем , если .

Определение 4.3. Функция

называется бесконечно малой величиной более низкого порядка малости, чем , если .

Тот факт, что

, например, имеет более высокий порядок малости, чем , можно обозначить следующим образом: .

Определение 4.4. Функция

называется бесконечно малой величиной го порядка малости относительно , если .

Определение 4.5. Функции

и называются несравнимыми бесконечно малыми величинами, если не существует и не равен .

Определение 4.6. Две бесконечно малые величины

и называются эквивалентными, если .

Очевидно, что это частный случай бесконечно малых величин одного порядка малости. Эквивалентные величины обозначаются следующим образом:

.

Понятие эквивалентности имеет практическое приложение. Если

, то это значит, что при достаточном приближении к на основании теоремы 9.4.1 можно написать: . Иначе говоря, или .

Полученный результат позволяет следствия первого и второго замечательных пределов представить следующим образом:

;

;

;

;

;

при

.

Данный факт значительно облегчает вычисление пределов, связанных с первым и вторым замечательными пределами. Докажем объясняющую это теорему.

Теорема 4.1. Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им величин.

Доказательство. Пусть даны две бесконечно малые величины

и при , причем и . Рассмотрим

,

что и требовалось доказать.

Следовательно, при вычислении пределов, используя замены сомножителей на эквивалентные им более простые величины, можно значительно упрощать выражения.

Рассмотрим теперь теорему, дающую достаточно простой признак эквивалентности бесконечно малых величин.

Теорема 4.4. Две бесконечно малые величины

и при эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем и .

Доказательство. Обозначим

.

Необходимость. Дано, что

. Рассмотрим

,

то есть

. Аналогично доказывается, что .

Достаточность. Дано, что

и . Рассмотрим

,

то есть

, что и требовалось доказать.

Рассмотрим еще одну теорему, облегчающую процесс вычисления пределов.

Теорема 4.3. Сумма конечного числа бесконечно малых величин разных порядков малости эквивалентна слагаемому с самым низким порядком малости.

Доказательство. Пусть даны бесконечно малые величины

, и при , причем , , . Обозначим . Тогда

,

то есть

, что и требовалось доказать.

Литература

1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. Минск, "Высшая школа", 1973.

2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., "Наука", 1986.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., "Высшая школа" изд. 5, 1977.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., "Высшая школа" изд. 2.

6. Баврин И.И. Высшая математика - 1980 г.3

7. Дж. Голуб, Ч.Ван Лоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969.

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966.

10.Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.

11.Соколов Н. П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: ГИФМЛ, 1960.