Пределы Сравнение бесконечно малых величин (стр. 2 из 3)

Данное условие записывается в виде:

. Отметим, что интервал длины , который содержит в себе точку , называется -окрестностью точки .

Аналогичным образом вводится понятие предела функции и при стремлении

к . Так же как и в случае числовой последовательности, для функции существует теорема Коши, которая определяет существование у нее предела.

Теорема Коши о существовании предела. Для того чтобы функция

, где , имела предел при , где , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое число , что из условия вытекало условие .

Доказательства теоремы приводить не будем. В качестве предела функции могут служить как конечные, так и бесконечные величины.

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в следующем. Возьмем некоторое

, для которого . Тогда, согласно теореме, . Представим данное неравенство следующим образом: . Иначе говоря, как только станет отличаться от меньше, чем на , сама функция окажется в полосе шириной , расположенной на линии .