Шпаргалка по Математическому анализу (стр. 1 из 5)
Числовые множества: ограниченность, супремум, инфимум
1.Множество {x}, элементами которого являются числа, называется числовым множеством.
2. Множество вещественных чисел {x} называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что
x £ M ( 
x ³ m).Число M называется верхней гранью числового множества {x}. Аналогично, число m называется нижней гранью числового множества {x}.
Верхних (нижних) граней бесконечно много, так как любое число, большее M (меньшее m), есть также верхняя (нижняя) грань.
3. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества {x} (обозначение sup{x}).
4. Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества {x} (обозначение inf{x}).
Более точно, эти понятия выражаются следующими свойствами:
Супремум sup{x}
, 
.Инфимум inf{x}
, 
.Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.
Если числовое множество {x} не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup{x}.
Если числовое множество {x} не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf{x}.
Предел последовательности и предел функции
1.Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел
{x1, x2, x3, ... }.
Обратите внимание на два момента.
*В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!
*Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.
2. Предел последовательности.
Основное определение. Число a называется пределом последовательности {xn} при n стремящимся к бесконечности, если
.Подчеркнем, что N зависит от e.
Варианты определения.
Говорят, что
, если 
.Говорят, что
, если 
.3.Число b называется предельным значением (пределом) функции f(x) при x стремящимся к a
, 
Односторонние пределы
1.Число b есть предел слева (справа) функции f(x) при x стремящимся к a, если
(
).Обозначение
( 
).Если,
то существует 
. Верно и обратное утверждение.2.Теорема, устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.
Для того, чтобы существовал
необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {xn}, у которой 
существовал 
Свойства предельных значений.
Предельные значения имеют такие же свойства, что и предел последовательности:
, 
, 
, 
, если 
.Бесконечно малые и бесконечно большие
1.Функция f(x) называется бесконечно малой при x®a, если.
* Если существует
и 
, 
¸ то говорят, что a(x) и b(x) – бесконечно малые одного порядка.* Если
(или, что то же самое, 
), то говорят, что a(x) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем b(x).Обозначение a=o(b).
* Если
не существует, то говорят, что a(x) и b(x) несравнимы.Имеется стандартная бесконечно малая величина b(x)=x – a. Тогда, если существует
,то говорят, что a(x) является бесконечно малой k-го порядка, и обозначают это так
.Слагаемое
называется главной частью a(x).2.Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при x®a, если
.* Если существует
и , ¸ то говорят, что A(x) и B(x) – бесконечно большие одного порядка.* Если
(или, что то же самое, 
), то говорят, что A(x) есть бесконечно большая более высокого порядка, чем B(x).* Если
не существует, то говорят, что A(x) и B(x) несравнимы.Имеется стандартная бесконечно большая величина
. Тогда, если существует 
и , ¸ то говорят, что A(x)есть бесконечно большая k-го порядка и записывают это следующим образом:
.Возрастающие и убывающие функции
1.Пусть f(x) определена и непрерывна на промежутке
и внутри него имеет конечную производную. Для того, чтобы f(x) монотонно возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы было 
( ).-
Непрерывность
1.Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если
.Более подробно это расшифровывается следующим образом:
*
.*
. Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.*Обозначим
(приращение аргумента) и 
(приращение функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при 
также и 
, то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.2.Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Производная.
1.Пусть функция f(x) непрерывна в точке x. Тогда производной
от этой функции в точке x, называется предел (разумеется, если он существует) 
где
- приращение функции.*Геометрический смысл производной состоит в том, что численно она равна тангенсу угла между касательной, проведенной к кривой в точке x, и осью абсцисс OX
