Шпаргалка по Математическому анализу (стр. 4 из 5)
| П р и м е р . | Функция y = | x | ( рис.3 ) всюду непрерывна, но она не имеет производной при x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции. ( Подумайте, почему ? ) |
Лагранжа
Отношение f(b)-f(a) / b-a есть угловой коэффициент секущей АВ, а величина f I(c) – угловой коэффициент касательной к кривой в точке x=c, следовательно геометрический смысл т. Лагранжа заключается в следующем: на графике y=f(x) найдется точка C(c;f(c)) в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.
СЛЕДСТВИЕ:
Если, производная функции yi=0 на некотором промежутке, то ф-я постоянна на этом промежутке.
Если две ф-ии имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличны друг друга на постоянное слагаемое.
Теорема Лагранжа
Если f(x) непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b), то найдется хотя бы одна точка
, такая, что f(b)-f(a)=f I(c)(b-a)*ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Положим в т. Коши φ(x)=x
Подставим эти значения в формулу:
Что и требовалось доказать.
Правило Лопиталя
Если
То f(x) и φ(x) в некоторой окрестности содержат точку x=x0 удовлетворяющую всем условиям т. Коши.
*Предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
при условии, что предел правой части равенства существует.
*Правило Лопиталя применимо и в том случае когда:
Аргумент x стремится к бесконечности
*Если отношение производных f I и φi при x стрем. к беск. Снова приводит к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞.
При выполнении требуемых условий правило Лопиталя можно использовать повторно.
Признак возрастания и убывания функции.
Если ф-я f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и
, то эта ф-я возрастает (убывает) на интервале (a;b).*Исследование ф-ии на возрастание и убывание:
f(x)=x3-6x2-9x+1
D(f): (+∞;-∞)
f I(x)=3x2-12x+9= 3(x-3)(x-1)
f I > 0
f I < 0 при х прин.(1;3)
Функция убывает на (1;3)
Признаки существования экстремума
*Необходимое условие экстремума дается теоремой Ферма. Если во внутренней точке x0 функция f(x) имеет локальный экстремум, то в ней
.*Достаточное условие экстремума. Пусть в точке x0 выполнено условие
. Найдем первую по порядку старшинства производную, отличную от нуля: 
. Тогда возможны следующие варианты.а) n=2m – четное число. Тогда в точке x0 имеет место локальный экстремум, причем если
, то в точке x0 – локальный максимум, а если 
, то в точке x0 – локальный минимум.б) n=2m+1 – нечетное число. Тогда в точке x0 локального экстремума нет (это – точка перегиба).
Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба
*Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.
*Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.
*Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.
*Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0
*Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая
*Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0.
Геометрический смысл дифференциала
limy=A, y=A+a
limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx
Dx®0
Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.
dy=y`Dx
Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.
Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx
Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx
*Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину Dx
*Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)
2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV
3.d(c)=c`dx=0*dx=0
4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.
Инвариантная форма дифференциала
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.
Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.ъ
Однако, если х- независимая переменная, то
dx = Dx, но
если х зависит от t, то Dх ¹dx.
Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.
Формула Тейлора.
1.Многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке x0 назыв.
Пример: 
2.Остаточным членам формулю Тейлора n-го порядка наз.:
*Если функция F(x) (n+1) – дефферен. в окресности точки x0, то для любого x из этой окресн. сущ. т. с(x0, x)
Геометрический смысл частных производных
*(допустим
) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.В пространстве XYZ условие y = y0 описывает плоскость P,
перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P
пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, как
показано на рисунке 1. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к
линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по x функции
z = f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной
производной.
Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной
по y.
Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.
Найти:
-обл. определения ф-ции
-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной
-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты
-т. пересечения графика с осями координат
-симметрия графика (чет./нечет):
f(-x)=x симметрична относительно осей
f(-x)=-xсимметрична относительно О(0,0)
-периодичность
-интервалы монотонности
-точки экстремума
-наибольшее и наименьшее значение
-выпуклость, вогнутость
-точки перегиба
-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты
-нанесение на график.
Производные
(u(x)+-v(x))'=u'(x)+-v'(x)
(c*u(x))=c*u'(x)
(u(x)+-v(x))'=u'(x)+-v'(x)
(u(x)/v(x))'=(u'(x)*v(x)+ u(x)*v'(x))/v2(x)
u(v(x))'=u'v+v'x
(xa)'=a*xa-1
(sin(x))'=cos(x)
(cos(x))'=-sin(x)
(tg(x))'=1/cos2(α)
(ctg(x))'=-1/sin2(α)
(ex)'= ex
(ln(x))'=1/x
(loga(x) )'=1/xln(a)
(arcsin(x))'=1/√(1-x2)
(arccos(x))'=-1/√(1-x2)
(arctg(x))'=1/(1+x2)
(a x)'=axln(a)
касательная
y-y0=y`( x0)(x- x0)
нормаль
y-y0=(-1/y`( x0))*(x- x0)
Логарифмы
y=ax, x=loga(y)
y=aloga(y)
logb(a1a2)= logb(a1)+logb(a2)
logb(a1/a2)= logb(a1)-logb(a2)
logb(ak)=k logb(a)
logb(a)=logc(a)/logc(b)
(n+1)!=n!(n+1)
n!=1*2*3*4*…*n
Ckn=n!/(n-k)!*k!
Лимиты
[c/∞]=0[c/0]= ∞[0/∞]=0[∞/0]= ∞
первый замечательный предел
lim[(sin(x))/x] (при х→0)=1 lim[(arcsin(x))/x] (при х→0)=1
lim[(1-cos(x))/x2] (при х→0)=1/2 lim[(tg(x))/x] (при х→0)=1
lim[(arctg(x))/x] (прих→0)=1
lim[1/f(x)]=1/lim f(x)
lim[(x/sin(x))] (при х→0)=1
(1+x)1/x (при х→0)=e=2.718
второй замечательныйпредел
lim
lim[(ln(1+x)/x] (при х→0)=1 lim[(loga(1+x)/x] (при х→0)=1/ln(a)
lim[(ex-1)/x] (прих→0)=1 lim[((1+x)a-1)/x] (прих→0)=a
lim[(ax-1)/x] (прих→0)=ln(a)
lim [f(x)
g(x)] (прих→х0)=lim f(x) (прих→х0) lim g(x) (прих→х0)х
1.sinx~ xtgx ~ x
arcsinx ~ xarctgx ~x
(1- cosx)~ xex-1 ~x
ax-1 ~xlnaln(1+x)~x
log
(1+x)~ xlog 
e