Шпаргалка по Математическому анализу (стр. 3 из 5)

Сравнение б.м. и б.б. функций

Две б.м. функций сравниваються между собой с помощью их отношения(сумма, разность и произведение).

Рассмотрим правило сравнения б.м. функций:

*Пусть при х®х0 функции a(х) и b(х) являються б.м., т.е. Lima(х){при х®х0}=0 и Limb(х){при х®х0}=0, тогда Правила:1)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=0, то a(х) – б.м. более высокого порядка, чем b(х). 2)Если Lima(x)/b(х){при х®х0}=А¹0, то a(х) иb(х) – б.м. одного порядка. 3)Если Lima(х)/b(х){при х®х0}=1, то a(х) и b(х) – эквивалентные б.м.. Иногда нужно оценивать как высок порядок б.м. более высокого порядка, поэтому 4)Если Lima(х)/

(х){при х®х0}=А¹0, то a(х) – б.м. n-го порядка относительно b(х)

Замечания: Для сравнения б.м. функций, при х®∞, х®+\-∞, х®х0+\-. Существует аналогичное правило.

Замечательные пределы

*1-й замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на

и получим:

Т.к.

, то по признаку существования пределов следует

*2-й замечательный предел.

Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x→∞, то n→∞, тогда

По признаку о существовании пределов:

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства.

Функцию

называют непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a,b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

*Теорема утверждает, что если функция

непрерывна на отрезке [a,b], то найдётся хотя бы одна точка

такая, что значение функции

в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке:

. Аналогично найдётся такая точка

, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке:

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция

принимает наименьшее значение в двух точках

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a,b). Действительно, если рассмотреть функцию

на (0,2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция

непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция

непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a,b] найдётся по крайней мере одна точка

, в которой функция обращается в ноль:

, где a < C< b

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции

, соответствующие концам отрезка [a,b] лежат по разные стороны от оси Ох, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ох. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Эта теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция

непрерывна на отрезке [a,b] и

. Тогда для любого числа С, заключённого между А и В, найдётся внутри этого отрезка такая точка

, что

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции

. Пусть

. Тогда любая прямая

, где С – любое число, заключённое между А и В, пересечёт график функции по крайней мере в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением

, при котором

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности,

Следствие. Если функция

непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

Классификация точек разрыва.

Разрывы функции

1.Точки, где функция f(x) не является непрерывной, называются точками разрыва функции f(x).

Для классификации точек разрыва рассмотрим предел слева

и предел справа

функции f(x). Тогда имеет место следующая классификация точек разрыва.

* Устранимый разрыв.

Он имеет место, когда выполнено условие

В данном случае достаточно изменить значение функции в точке x0, чтобы разрыва не стало.

* Разрыв первого рода (скачок).

Разрыв первого рода (скачок) получается тогда, когда односторонние пределы

существуют, конечны, но не равны между собой, то есть

* Разрыв второго рода.

Если хотя бы один из

равен ¥± или не существует, то говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 разрыв второго рода.

Вид разрывов второго рода очень разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x0 – 0) конечен, а f(x0 + 0) равен +¥.

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga₀=y`

a®a₀

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga₀=y`, a®a₀)

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

*Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

*С л е д с т в и е . Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.