Спектральная теория операторов (стр. 6 из 7)

x_m

(3.9)

Следовательно,

x_m=

(3.10),

и потому

=0 (3.11)

Отсюда следует, что т может быть уменьшено на единицу, что противоречит определению целого m. Обозначим через Р_топератор проектирования на подпространство Е_т, порожденное элементами {х, ..., х_т}. Оператор Т отображает подпространство Е_mв себя. Положим z_m= x_m — P_m-1x_m. Тогда z_m

0 и [Tz_m; z_m] = [

z_m; z_m]. Пусть e_m = z_m/||z_m||. Последовательность {e_m}, очевидно, ортонормальна и [Te_m, e_m]=λ_m. Следовательно, λ_m→0. Таким образом, ненулевые собственные числа образуют изолированное подмножество спектра. Для произвольных двух заданных чисел 0<r₂ < r₂множество {z: z<| z|<r₂} может содержать лишь конечное число собственных чисел оператора Т. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема3.2 Спектр компактного оператора содержит не более счетного числа точек и его предельной точкой может быть лишь нуль. Каждая ненулевая точка спектра является собственным значением.

Компактный оператор может вообще не иметь собственных значений. Однако для самосопряженных компактных операторов это уже не так.

Теорема3.3 Самосопряженный компактный оператор, отображающий пространство Н в себя, имеет по крайней мере одно собственное значение.

Доказательство. Прежде всего докажем, что если оператор самосопряжен, то

(3.12)

Обозначим правую часть этого равенства через с. Ясно, что с

. Далее, имеем

, х, у

Н.

По

[Тх, у] + [Ту, х] =

{[Т(х + у), х+у]–[Т(х-у), х–у]}.

Следовательно,

|[Тх, у] + [Ту,х]|≤1/2{|[Т(х + у), х+у] + [Т(х-у),х-у]|}≤

≤1/2c{||x+y||²+||x–y||²}=c(||x||²+||y||²) (3.13)

Tак как оператор Т самосопряжен, поэтому в случае вещественного гильбертова пространства

|[Тх, у]|≤c

,

или |[Тх, у]|≤с для всех || х || = || у || –1. Следовательно, или |[Тх, у]|≤с|| х || *|| у ||, или || T|| < с. Если исходное пространство рассматривается над полем комплексных чисел, то положим [Tx, у] = | [Тх, у] |eⁱ

. Пусть х₁ = x

. Тогда в силу самосопряженности оператора T имеем

[Тx₁, y₁] + [Ту, х₁] = с(

) (3.14)

Полагая || х || = || у || = 1, получим [Tx, у]

, отсюда следует, что | [Тх, у] | < с|| х || || у || . Таким образом существует последовательность {х_п} такая, что

|| х_n||= 1, lim|[Tx_n, x_n]| = ||T||>0

Tак как последовательность {[Тх_т, х_т]} состоит из вещественных чисел, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что она сходится либо к +||T||, либо к –||Т||.Обозначим этот предел через

. Еще раз переходя к подпоследовательности можносчитать, что х₀слабо сходится к х₀; в силу компактности оператора Т последовательность {Тх_п} будет сильно сходиться к у₀ =Тх₀. Следовательно,

lim[Tx_m, x_m] = [Тх_о, х_о] = [у₀, х₀] (3.15)

Кроме того,

0<lim || Tx_m–

x_m||² = || y₀||² - 2 ² + ² = || у₀ || ² – ².

Но || у₀ || ² = lim || Tx_m||²

|| T||² = , поэтому || у₀ || ²=

и

lim || Tx_m–

x_m||² = 0 (3.16).

В силу сильной сходимости {Tx_m} последовательность {х_т} сильно сходящаяся. Следовательно, Тх₀ =

х_о, причем ||х₀||=1 и

= ±|| T||. Теорема доказана.

Точно так же, как и в конечномерном случае, собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Пусть теперь Т — компактный самосопряженный оператор. Тогда, как мы знаем, его спектр состоит из дискретного множества вещественных собственных значений {

_i} и предельной точкой {

_i} может быть лишь нуль. Обозначим через M_iподпространство собственных векторов, соответствующих ненулевому собственному значению

_i.

М_i= {х : Тх =

х}.

Пусть M₀= {х: Тх = 0}. Для любого х из Н положим x_i= Р_iх, где Pi— оператор проектирования на подпространство M_i.

Тогда 0

, потому ряд сильно сходится. Рассмотрим подпространство H₀, ортогональное всем M_i, i= 0, 1, ... Тогда Н₀— замкнутое подпространство и оператор T, будучи самосопряженным, отображает Н₀в себя. Так как оператор Т является самосопряженным и компактным, то существует собственное значение такое, что Тх =

х, x

H. Однако это возможно лишь в том случае, если H₀={0}, т. е. нуль является единственным элементомH₀. Следовательно, для любого х из H справедливо разложение

x=

(3.17).

Следовательно, Tx=

. Заметим, что для каждого элемента

_iсправедливо разложение

x_i=

, Te

=

(3.18),

где е^ij,j = 1, …,m_i, –базис подпространства М_i, которое, как было показано выше, конечномерно.

Замечание. Равенство Тх =

можно переписать в виде

Т =

, =I, [P_ix, P_jx] = 0,