Спектральная теория операторов (стр. 4 из 7)

[y, h] = lim[Tx_nk, h] = lim[x_nk, T*h] =[х₀, T*h] = [Тх₀, h],

откуда у=Тх₀, так что у не зависит от выбора конкретной подпоследовательности, а значит,

limTx_n= у.

Обратно, пусть Т — ограниченный линейный оператор, переводящий любую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. Пусть В— ограниченное множество в Н

. Покажем, что замыкание множества ТВ компактно. Действительно, пусть {х_п} — произвольная последовательность элементов из В. В силу свойства слабой компактности ограниченных множеств в гильбертовом пространстве найдется подпоследовательность {x_nk}, слабо сходящаяся к некоторому пределу, скажем к x

. Тогда подпоследовательность {Tx_nk} сходится сильно и, как мы видели, ее пределом должна быть точка Тх₀. Очевидно, что Tх₀— предельная точка множества ТВ, а это и значит, что оператор компактен.

Пример 2.4 Пусть (

,

,

), ( , , ) — пространства c -конечными мерами

, . Обозначим через R(t,s)

измеримую матричную функцию порядка (р, q),определенную на множестве . Положим

.

Тогда оператор L, определенный соотношениями

Lf=g, g(t)=

R(t, s) f (s)d

, t

Q₂,

линейнои непрерывно отображает пространство Н₁ = L

( ,

,

)^p в H₂= L₂( , , )^p. Заметим, что пространство Н

не обязательно сепарабельно. Докажем компактность оператора L. Пусть последовательность fn

H₁слабо сходится. Для всех t , где —множество полной меры имеем

.

Пусть e_i— единичный вектор евклидова пространства R^q. Тогда для любого t

формула

[

R(t,s)f(s)d

, е_i]

определяет линейный непрерывный функционал на пространствеH₁. Следовательно, для каждого t

последовательность

g_n(t)=

R(t,s)f_n(s)d

сходитсяк

g(t) = R(t,s)f(s)d

.

Можно применить теорему Лебега о почленном интегрировании последовательности. Следовательно,

при n

. Так как последовательность g_n(∙)сходится к g(∙) слабо, то отсюда следует сильная сходимость g_nк g.

3 Спектральная теория компактных операторов

3.1 Множество значений компактного оператора

Спектральная теория характеризует спектры и резольвентные множества операторов. Исследование интегральных операндов по существу эквивалентно изучению интегральных уравнений.

По своим свойствам компактные операторы близки к конечномерным (матричным) операторам. Кроме того, последние играют большую роль в приложениях. Пусть Т— компактный оператор, отображающий пространство Нв себя. Тогда, если пространство бесконечномерно, то нуль должен принадлежать спектру, поскольку тождественный оператор Т^-1Тне является компактным. Напомним, что в дальнейшем пространства рассматриваются над полем комплексных чисел.

Лемма 3.1 Для любого

0 множество значений оперaтора I– Т замкнуто [10].

Доказательство. Пусть {у_п} — сходящаяся последовательность из множества значений оператора (

I— T), т. е. y_n=

х_n– Тх_п. Положим

М = {х:

х=Тх}.

Тогда М – замкнутое подпространство Н. Обозначим через Р оператор проектирования на подпространство М и положим z_n=х_п–Рх_п. Предположим, что ||z_n||

. Пусть

, (3.1).

В силу сходимости {у_п} последовательность h_nсходится к нулю. Так как ||

||=1, то, переходя к подпоследовательности, можно считать, что {

} слабо сходится к элементу . Однако ввиду равенства ТР= Р справедливо соотношение

n= (h_n+ T

_n)/

(3.2).

Отсюда, в силу сильной сходимости T

_nк T

_nследует, что последовательность {

_n} сильно сходится к

. Далее, = T и || || = 1. Однако это невозможно, поскольку элементы _nпринадлежат M

. Таким образом, последовательность {||z_n||} ограничена. Поэтому, переходя к подпоследовательности, можно считать, что {z_n} – слабо сходящаяся последовательность. Из равенства z_n = (y_n+ Tz_n)/

как и ранее, следует, что последовательность {z_n} сходится сильно. Обозначая через zсоответствующий предел, получим, что z=Tz+ у, где у — предел последовательности {у_п}. Лемма доказана.