Спектральная теория операторов (стр. 3 из 7)

Определение 2.3 Ограниченный оператор называется квазинильпотентным,если его спектральный радиус равен нулю [6].

Спектр квазинильпотентного оператора содержит лишь нулевую точку.

Пример2.2 Пусть H= L₂(0, 1). Определим оператор Т соотношениями

Tf = g, g(t)=

f(s)ds, 0

t

1 (2.10)

Тогда оператор Т линеен и ограничен. Используя неравенство Шиарца,найдем

Что касается спектра оператора T,то заметим, что если

λf(t)—

f(s)ds = 0 почти всюду на [0, 1],

f — непрерывная функция. Далее, уравнение

λf(t)-

f(s)ds= g(t)

имеет единственное решение

(2.11)

и потому спектр оператора Т может содержать лишь нулевую точку. Это можно доказать заметив, что оператор Т квазиниль-потентен:

(2.12)

Как было доказано выше, спектр ограниченного оператора не может быть пустым. Следовательно, спектр оператора Т состоит из нулевой точки. С другой стороны, в рассматриваемом случае, нуль не является собственным значением, поскольку из условия Tf= 0 следует, что f= 0. Отсюда следует, что Т^-1— замкнутый линейный оператор, однако он неограничен. Это и следовало ожидать, поскольку T^-1f= gозначает, что g =f'.

Пример 2.3 В общем случае нельзя указать эффективной процедуры отыскания спектра и резольвентного множества заданного оператора. Однако, для интегральных операторов такой общий метод существует; он заключается в дифференцировании необходимое число раз равенства, определяющего точку спектра с целью получения определяющего дифференциального уравнения. Рассмотрим, например, оператор

(2.13)

Рассмотрим сначала точечный спектр этого оператора. Если функция L(•) из H является собственным вектором, то

f (s) ds= λtf (t) почти всюду.

Дифференцируя обе части этого равенства, получим дифференциальное уравнение

f(t)=

+

(t);

его общее решение имеет вид f(t)=k-t^a,где k— произвольное постоянное число, а а = (1–λ)/λ.С другой стороны, из условия

следует, что

l+2Re((1– λ)/ λ)=0 или Re(1/ λ)>

Таким образом, всякое комплексное число λ, удовлетворяющее этому условию, принадлежит точечному спектру. Так как спектр — замкнутое множество, то {λ; -

+Re(1/ λ) ≥

} принадлежит ему. Это множество представляет собой шар радиуса 1 с центром в точке

=1. Далее, рассмотрим уравнение

f — Tf = g, или

tf(t)-

f(s)ds= tg (t),

Предполагая дифференцируемость соответствующих функций,

получим

tf'(t) +

f (t)–f(t) = tg' (t) + g(t).

Отсюда следует, что

(2.14)

где k— константа. Если ограничиться рассмотрением тех

, для которых 1+2 Re(1- ) / < 0, то, полагая k= 0, получим

(2.15)

Условие 1 + 2Re(l—

) /

> 0 эквивалентно условиям Re(l/

) <C < 1/2, или

² + ² —2 > 0, где

= + i

. Можно показать, что последняя формула определяет резольвенту. Заметим, что такое принадлежит спектру, но не является собственным значением. Безусловно, спектр целиком содержится в шаре |

|

|T||=2.

Определение 2.4 Ограниченный линейный оператор, отображающий пространство

в себя, называется неотрицательно определенным,если он самосопряжен и квадратичная форма [Тх, х] неотрицательно определена.

Для любого ограниченного линейного оператора операторы Т*Т и ТТ* неотрицательно определены [8].

2.3 Понятие о компактном операторе

Определение 2.5 Ограниченный линейный оператор, отображающий пространство H

в H₂, называется компактным (вполне непрерывным), если он переводит ограниченные множества из Н

в компактные подмножества H₂.

Важное характеристическое свойство компактных операторов определяется следующей теоремой [7].

Теорема 2.3 Пусть Т — компактный оператор, отображающий пространство H

в H₂. Тогда для любой слабо сходящейся последовательности {х_п} из Н

последовательность {Тх_п} сильно сходится в H₂. Обратно, любой ограниченный линейный оператор, обладающий этим свойством, компактен [6].

Доказательство.Пусть оператор Т компактен, а {х_п} — слабо сходящаяся, скажем к х₀, последовательность из Н

. Тогда, согласно принципу равномерной ограниченности имеем оценку

<М

для некоторого числа М, О < М <

. Поэтому последовательность {Тх_п} принадлежит некоторому компактному подмножеству в H₂ и, значит, из любой ее подпоследовательности можно извлечь еще более узкую сильно сходящуюся подпоследовательность. Обозначим такую сильно сходящуюся подпоследовательность через {Tx_nk}, аее предел через у. Тогда для любого h

H₂имеем цепочку равенств