Способ доказательства бесконечности количества некоторых видов простых чисел
Греческий ученый Евклид еще в ІІІ веке до нашей еры доказал, что количество простых чисел - бесконечено.
Теорема Дирихле утверждает, что в некоторой арифметической прогрессии, которая состоит с натуральных чисел, количество простых чисел или бесконечность. Это значит, если
, тогда значения многочлена первой степени
Уже о многочленах второй и о большей степени этого нельзя было сказать. Неразрешимой была проблема простых чисел-близнецов.
Ниже мы рассмотрим способ, с помощью которого можно решить часть этих проблем.
Рассмотрим многочлен который при значениях
от
до
, дает бесконечный ряд натуральных чисел
Пусть простые числа (2) делят числа (1) и некоторые числа (2) совпадают с некоторыми числами (1). Применяя способ решета Эратосфена, мы увидим, что каждое простое число
Если p1 выбивает t/ р1 , то p2 выбьет еще часть чисел (1) с тех, что осталась, а вместе они выбьют
часть чисел (1)
Третье простое число
часть чисел (1)
Продолжая ми получим, что простые числа выбивают
(3)
часть чисел (1) , а на оставшиеся простые числа останется
часть чисел (1)
Используем тот факт, что простые числа от
Пусть
значит, там еще есть простые числа больше
Рассмотрим проблему простых чисел-близнецов
Пусть многочлен первой степени ,где
,дает простые числа –близнецы. Требуется доказать, что их количество бесконечно. Запишем все пары чисел
(6)
Легко показать, что каждое простое число выбивает по две пары таких чисел, то есть
часть.
Пусть
последняя известная нам пара простых чисел-близнецов этого вида. Используя формулы (3) мы увидим, что все простые числа от до
часть чисел(6). А , используя формулу (4) мы получим, что на все остальные простые числа останется
(9)
часть чисел (6).
Для того, чтобы выяснить есть ли еще другие пары простых чисел-близнецов в последовательности (6) больше за (7), достаточно исследовать формулу (9) на промежутке до .
Если
(10)
где А-количество пар чисел (6) на промежутке от
тогда последнее число вида (7) меньше
.
С учетом этого формула (10) примет вид
,
где видно, что левая часть больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов бесконечно.
Для примера рассмотрим простые числа-близнецы вида
Пусть
Рассмотрим многочлен второй степени
(11)
Подставляя в (11) значения