Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 7 из 14)

то

. Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись . Заметим, что если - некоторый класс конечных групп и , то - замкнутый подгрупповой функтор.

Пример 6. Пусть

. И пусть для каждой группы множество совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Напомним, что подгруппа

группы называется абнормальной в , если всегда из следует, что .

Пример 7. Пусть для любой группы

множество совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Пример 8. Пусть

- произвольный класс групп. Подгруппа группы называется

- абнормальной в

, если выполняется одно из следующих двух условий:

1)

;

2)

и для любых двух подгрупп и из , где и - максимальная подгруппа в имеет место .

Легко видеть, если группа

разрешима, то ее подгруппа абнормальна в тогда и только тогда, когда она -абнормальна в .

Сопоставляя каждой группе

множество всех ее -абнормальных подгрупп , получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись .

Пример 9. Подгруппа

группы называется -субнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:

1)

;

2)

и в имеется такая цепь подгрупп где - максимальная в подгруппа, содержащая , .

Пусть

- некоторая непустая формация и для каждой группы система состоит из всех -субнормальных в подгрупп.

Покажем, что

- подгрупповой функтор. Пусть -субнормальна в . И пусть и - такие члены цепи (1), что , где - нормальная в подгруппа.

Покажем, что

- максимальная подгруппа в . Допустим, что для некоторой подгруппы . Тогда поскольку максимальна в , то либо , либо .

Пусть имеет место первое. Тогда поскольку

, то . Противоречие. Значит, , т.е. . Поэтому . Противоречие. Итак, ряд таков, что в нём для любого имеет место одно из двух условий:

1)

;

2)

- максимальная подгруппа в . He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку то

Итак,

- -субнормальная подгруппа в . Понятно также, что если - -субнормальная подгруппа в , то - -субнормальная подгруппа в . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .