Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 6 из 14)

3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов

Пусть

некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой

-функтор или подгрупповой функтор на

, если выполняются следующие условия: 1) для всех ;

2) для любого эпиморфизма

, где А, и для любых групп и имеет место и

Подгрупповой

-функтор называется:

1) замкнутым, если для любых двух групп

и имеет место ;

2) тривиальным, если для любой группы

имеет место

;

3) единичным, если для любой группы

система состоит из всех подгрупп группы G.

Тривиальный подгрупповой

-функтор обозначается символом , а единичный - символом .

Если

и - подгрупповой -функтор, то - такой подгрупповой -функтор, что для всех . Такой функтор называется ограничением функтора

на классе

.

Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда

- класс всех групп, подгрупповые -функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.

Пример 1. Пусть для любой группы

,

Понятно, что

- замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись .

Пример 2. Пусть

- совокупность всех нормальных подгрупп группы для каждой группы . Такой функтор в общем случае замкнутым не является.

Пример 3. Пусть

- произвольное натуральное число. Для каждой группы через обозначим совокупность всех таких подгрупп , для которых . Понятно, что - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись .

Пример 4. Пусть

- произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы .

Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись

.

Если

- подгруппа группы , то символом обозначается мощность множества .

Пример 5. Пусть

- простое число и пусть для любой группы система в

нет такой подгруппы

, что

,

- натуральное число, взаимнопростое с .

Покажем, что

- подгрупповой функтор.

Действительно, пусть

и . Предположим, что

где

- натуральное число. Тогда - натуральное число и

Следовательно,

, и поэтому . Это означает, что . Аналогично, мы видим, что если