Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 5 из 14)

(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы

, т.е.

;

(5) тогда и только тогда

где

когда

Лемма 1.3Пусть

- гомоморфизм группы
в группу
. Тогда:

(1) если

, то

;

(2) если

, то

;

(3) если подмножества

сопряжены в

, то

сопряжены в

Теорема 1.4 (Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если

- гомоморфизм, то
.

Теорема 1.5 (первая о изоморфизме) Пусть

- нормальная подгруппа группы
. Тогда для любой подгруппы
пересечение
является нормальной подгруппой в подгруппе
, а отображение

является изоморфизмом групп

Теорема 1.6 (вторая о изоморфизме) Если

и
- нормальные подгруппы группы
, причем
, то
изоморфна
.

Лемма 3.1 Пусть

- формация,
. Тогда

Лемма 20.6. Пусть

- подгрупповой функтор и
- группа. Если
и
, тогда
.

Лемма 20.7. Пусть

,
- элементарно абелевы
-группы с
. Тогда
имеет подгруппу
такую, что
.

Теорема. Пусть

- такой набор конгруэнций
-алгебры A, что
. Пусть

прямое произведение факторалгебр

Тогда

- мономорфизм алгебры

в алгебру

входит подпрямо в

Теорема 20.8. Пусть

- конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из
либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка
является цепью, когда существует такое простое число
, что каждая группа в
является элементарно абелевой
-группой.

Теорема 20.9. Пусть

- конечная группа и
- конечное многообразие, порожденное
. Тогда в том и только в том случае
является элементарной абелевой
-группой, когда решетка
является цепью.

Лемма 24.9 Пусть

- наследственный гомоморф конечных групп. Пусть
- замкнутый подгрупповой функтор на
Пусть
- нильпотентная группа в
и
Предположим, что
, где
- простое число. Пусть
- нильпотентная группа в
такая, что
и
Тогда

Лемма 24.10 Пусть

- наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и
Пусть
Если
- идемпотент в
, удовлетворяющий условию
и
, где
тогда

Теорема 24.11 Пусть

- конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в
конечная. Тогда ширина
решетки
всех идемпотентов в
конечна и
в том и только в том случае, когда
состоит из нильпотентных групп и