Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 4 из 14)

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы

, называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом, .

Для любой неединичной подгруппы

можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер

такой, что , то группа называется разрешимой.

Если

- непустое подмножество группы и , то

Элемент

называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то

Совокупность всех элементов группы

, перестановочных с подмножеством называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,

Пусть

и - мультипликативные группы. Отображение называется гомоморфизмом группы в группу , если для любых и .

Если

- подмножество группы , то образ при гомоморфизме , а - образ гомоморфизма . Образ гомоморфизма также обозначают через .

Ядром гомоморфизма

называется множество где - единичный элемент группы . Другими словами, в ядре собраны все элементы группы , переходящие при отображении в единичный элемент группы .

Гомоморфизм

называется мономорфизмом, если . Из леммы 1 следует, что гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение - инъекция.

Если

, то гомоморфизм называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом случае - сюръекция.

Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.

2. Используемые результаты

Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть

- нормальная подгруппа группы

. Тогда:

(1) если

- подгруппа группы и , то - подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы

имеет вид , где - подгруппа группы и ;

(3) отображение

является биекцией множества S на множество S ;

(4) если

S , то - нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа факторгруппы .

Лемма 1.2Пусть

- гомоморфизм группы

в группу

. Тогда:

(1) единичный элемент

группы переходит в единичный элемент группы , т.е. ;

(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е.

для всех ;

(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы

, т.е. ;