Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 13 из 14)

Пусть

- решетка. Подмножество называется антицепью в если для любых различных элементов и из , мы имеем и Если - антицепь в такая, что для любой другой антицепи , тогда кардинальное число называется шириной решетки .

Если

- произвольная совокупность групп, то символом обозначается множество всех простых делителей порядков групп из .

Теорема 24.11 Пусть

- конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в

конечная. Тогда ширина

решетки

всех идемпотентов в

конечна и

в том и только в том случае, когда

состоит из нильпотентных групп и

Доказательство. Прежде мы предположим, что формация

нильпотентна и , где Пусть Предположим, что имеется замкнытый функтор в такой, что и для Мы покажем, что Действительно, если , тогда найдется группа такая, что для некоторой подгруппы из , мы имеем Мы можем считать, что - группа минимального порядка с этим свойством. Понятно, что Пусть - такая максимальная подгруппа в , что . Согласно условию, класс является наследственным. Следовательно, , и поэтому ввиду выбора группы , мы имеем Пусть Так как то найдется группа такая, что Таким образом, для некоторой подгруппы мы имеем и поэтому по лемме 4.9, Это означает, что противоречие. Следовательно, Значит, если - замкнутый функтор в и то для некоторого мы имеем По лемме мы видим, что ширина решетки равна

Теперь мы предположим, что ширина

решетки конечна и Пусть Если и тогда и и поэтому Это означает, что - конечное множество. Теперь мы покажем, что - класс нильпотентных групп. Предположим, что имеет ненильпотентную . Пусть и пусть - силовская -подгруппа в . Тогда Так как - ненильпотентная группа, то для некоторого имеет место . Хорошо известно (см., например, [], теорема), что не является субнормальной подгруппой в , и поэтому где (см. пример 21.4). С другой стороны, мы видим, что и поэтому Это показывает, что антицепь с противоречие. Таким образом, - формация, состоящая из нильпотентных групп. А по лемме 4.10, Теорема доказана.