Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов (стр. 11 из 14)

Теперь мы предположим, что решетка

является цепью. Пусть и - конечная группа. Предположим, что порядок группы делится по крайней мере на два простых числа и . Пусть

И пусть

- силовская -подгруппа в и - силовская -подгруппа в , соответственно. Тогда

Значит,

и . Это показывает, что не является цепью, что противоречит нашему предположению. Следовательно, найдется такое простое число , что каждая конечная группа из является -группой.

Мы теперь покажем, что каждая группа в

является абелевой. Предположим, что это не так и пусть - неабелева группа в . В этом случае некоторая ее подгруппа , порожденная элементами , является конечной неабелевой -группой. Так как по условию класс является наследственным, то . Пусть , где - класс всех абелевых групп. Поскольку , то , и поэтому . Следовательно, мы имеем . Теперь пусть где . И пусть - коммутант подгруппы , . Тогда и ясно, что . Значит, . Но поскольку , мы имеем . Таким образом, не является цепью. Полученное противоречие показывает, что каждая группа в является абелевой. Аналогично можно показать, что экспонента каждой группы из делит число .

Теорема доказана.

Пересечение всех конечных многообразий, содержащих данную группу

, называется конечным многообразием, порожденным . Из теоремы 20.8 вытекает

Теорема 20.9. Пусть

- конечная группа и

- конечное многообразие, порожденное

. Тогда в том и только в том случае

является элементарной абелевой

-группой, когда решетка

является цепью.

Пусть

и - подгрупповые -функторы. Определим произведение при помощи следующего правила

Понятно, что подгрупповой

-функтор является замкнутым тогда и только тогда, когда . Мы используем символ для обозначения произведения , в котором имеется сомножителей.

Пусть

- произвольное непустое множество простых чисел. Подгруппа группы называется

-холловской, если ее индекс в не делится ни на одно число из , а среди простых делителей ее порядка нет ни одного не входящего в . Символом обозначают множество всех простых чисел, отличных от .