Формирование понятия функции в курсе математики средней школы (стр. 5 из 9)

Тогда ясно, что

(x) и (x) определены на множестве X, так как f(x) определена на симметричном относительно нуля множестве X и

(-x) = = = (x);

(-x) = = = - = - (x);

(x) + (x) = + = = =

=

f(x),

что и требовалось доказать.

Пример. Функцию y = 2

можно представить в виде суммы двух функций y = (x), где (x) = , и y = (x), где (x) = , причём функция y = (x) – чётная, а функция y = (x) – нечётная.

Многие важные процессы в природе и технике являются периодическими, т.е. повторяющимися по истечении некоторого промежутка времени. Такие периодически повторяющиеся процессы описываются периодическими функциями. Поэтому особенно важно правильное понимание определения периодической функции.

Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число

0 такое, что выполняются следующие два условия:

1) для любого x из области определения функции y = f(x) числа (x +

) и (x – T) также входят в область определения и 2) для любого x из области определения выполняется равенство f(x + ) = f(x).

Число Т называют периодом функции y = f(x).

Замечание. Для периодической функции имеет место равенство

f(x – T) = f(x). Действительно, функция y = f(x) в точке (x – T) определена и

f(x) = f[(x – T) + T] = f(x – T).

Покажем, что если число Т есть период функции y = f(x), то любое из чисел nT, где n

, n 0 является периодом этой функции.

Действительно, пусть n = 1, тогда согласно определению и замечанию:

а) точки (x +

) и (x – T) принадлежат области определения функции y = f(x);

б) f(x) = f(x +

) и f(x) = f(x – T).

Предположим, что для n = k справедливо утверждение точки (x + kT) и (x – kT) принадлежат области определения функции y = f(x). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1.

По предположению точки (x + kT) и (x – kT) принадлежат области определения функции y = f(x) и Т есть её период. Следовательно, точки

[(x + kT) + T] и [(x – kT) – T], т.е. точки [x + (k + 1)T] и [x - (k + 1)T], принадлежат её области определения.

Итак, для любого x из области определения функции y = f(x) при любом n

Z, n 0 точки (x + n ) и (x – nT) принадлежат области её определения.

Предположим, что для любого n = kсправедливо утверждение

f(x) = f(x + kT) и f(x) = f(x – kT). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1. Действительно, так как Т является периодом функции y = f(x), то для точки (x + kT) имеем [(x + kT) + T] = f(x + kT), но по предположению

f(x) = f(x + kT) следовательно, f(x) = f[x + (k + 1)T].

Аналогично для точки (x – kT) доказывается, что f(x) = f[x - (k + 1)T], т.е. для любого целого отличного от нуля n утверждение f(x) = f(x + nT) и

f(x) = f(x - nT) доказано.

Число Т называется главным периодом, если оно положительно и является наименьшим среди всех положительных периодов, т.е. из положительных периодов функции y = f(x) (если он существует) называют её основным (главным периодом).

Рассмотрим примеры.

Пример №1. Функция y ={x} ({x} – дробная часть числа х) – периодическая. Заметим, что по определению

= х – [х], где [x] – целая часть числа х. Область определения данной функции - вся числовая прямая, поэтому для любого действительного числа х и любого T x, Т 0 числа (х + Т) и (х - Т) принадлежат области определения рассматриваемой функции и f(x +T ) = {x+T} = x + T – [x + T] = x + T –([x] + T) = x + T – [x] – T = x – [x] = {x}, где Т Z, T 0.

Таким образом, функция у = {x} – периодическая с периодом Т, где Т

Z, T 0.

Наименьшее целое положительное число равно единице. Следовательно, основной период данной функции Т = 1.

Построим график функции у = {x}.

Для этого сначала построим график функции на промежутке х

[0;1), длина которого равна основному периоду функции. Если х [0;1), то {x} = x, то есть на этом промежутке имеем у = х.

Весь график функции у = {x} получим параллельным переносом графика функции у = {x}, где х

[0;1) вдоль оси абсцисс на = 1.

Пример № 2

Функция Дирихле – периодическая с периодом T = r, где r = Q.Действительно,

D(x) =

D(x + r) =

Так как r – рациональное число, то сумма х + r- рациональное число, как сумма двух рациональных чисел; с другой стороны, х + r- иррациональное число, как сума иррационального и рационального чисел.

Следовательно, D(x + r) = D(x).

Пример № 3

Функция y = sin

не является периодической, так как, например для числа

х = 0 число (х – Т) при Т > 0 или число (х + Т) при Т < 0 не принадлежат области определения данной функции.

Пример № 4

Найти период функции

y = Asin (mx +

), где А, m, - постоянные величины, A 0, m 0,

x – аргумент.

Область определения функции – числовая прямая, поэтому числа (х

Т) R, где Т 0. Пусть основной период данной функции равен Т. Тогда для данной функции при любых действительных х рассмотрим равенство

A sin (m (x + T) +

) = A sin (mx + ).

Следовательно,