Смекни!
smekni.com

Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G (стр. 2 из 3)

Рассмотрим все нормальные подгруппы группы F, содержащие слова w1,...,

wk Одной из таких подгрупп является сама группа F. Пересечение всех нормальных

подгрупп, содержащих w1,..., wk, обозначим N. Можно показать, что пересечение

нормальных подгрупп всегда будет являться нормальной подгруппой. Таким

образом, N будет наименьшей нормальной подгруппой, содержащей элементы

w1,..., wk. Пусть G = F/N - фактор-группа. Напомним, что элементами фактор-

группы являются смежные классы по подгруппе N. Если u - слово, u Î F, то через

u будем обозначать смежный класс, содержащий u. Тогда в фактор-группе G

справедливы равенства 1 w = k w = 1 . Группу G будем называть группой с

образующими x1...xn и соотношениями (1) и задавать в следующем виде

1 n 1 1 k k G=<x ,...,x | u = v ,...,u = v >

(2)

На практике в каждом смежном классе группы G = F/N выбирают наиболее

"простое" слово. Если одно слово группы F можно получить из другого с

помощью алгебраических преобразований, используя соотношения (1), то в группе

G такие слова равны (точнее, они лежат в одном смежном классе).

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только конечных групп, за-

данных образующими и соотношениями. Поскольку в конечной группе каждый

элемент имеет конечный порядок, можно ограничиться словами, в которые каждый

6

символ входит в неотрицательной степени. Действительно, если , хn = 1 (n > 1), то х

-1 = хn-1.

На множестве слов введем порядок. Сначала упорядочим множество ис-

ходных символов, т.е. будем считать, что x1 < x2 < ...< xn . В слове

1 k

1 k u = ta ...ta можно предполагать, что следующий символ отличен от предыдущего,

т.е. i 1 i t t + ¹ . Пусть имеются два слова 1 k

1 k u = ta ...ta и 1 m

1 mv= sb ...sb , где iit ,sÎ{ x1...xn}.

Будем считать, что u < v, если 1 k 1 m a + ...+a < b + ...+ b . В случае

1 k 1 m a + ...+a = b + ...+ b будем считать, что u < v, если 1 1 t < s или 1 1 t = s , но

1 1 a > b . Если 1 1 t = s и 1 1 a = b , то для сравнения слов u и v надо рассмотреть

следующие символы и т.д..

Таким образом, в алфавите х, у получается следующая последовательность

слов, расположенных по возрастанию.

1, x, y, x2 ,xy, yx, y2 ,x3 ,x2 y,xyx,xy2 , yx2 , yxy, y2 x, y3 ,...

Имея задание группы в виде (2), прежде всего нужно убедиться, что в G

лишь конечное число элементов. Используя соотношения (1) нужно в каждом

смежном классе выбрать наименьшее слово. Это иногда является непростой

задачей, т.к. не существует алгоритма позволяющего определить, являются ли два

слова равными в силу соотношений (1).

Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих

со всеми элементами группы. Центр группы G является подгруппой и обозначается Z(G). Если имеется таблица умножений, то центр образуют те элементы, для

которых соответствующая строка в таблице умножений равна столбцу с тем же

номером.

2. Практическая часть

Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной

бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением.

G=< x, y| x2= y2=(xy)3>, n = 24.

По определению группы операция умножения ассоциативна, а элемент e

является единицей, и для нее справедливы известные соотношения. Минимальной

системой образующих для нашей группы будет являться система из двух

элементов - {x, y}. Определим единицу данной группы.

xy=yxyxy2 =(yxyxxyxy)xy, yxyxxyxy=e, x8 =y8 =e

2.1. Доказательство того, что в группе n элементов.

Путем анализа определяющих соотношений убедиться, что число

элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы

через образующие.

Рассмотрим каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и

y. Будем для начала рассматривать слова длины 1, т.е. элементы x и y. Путем

дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова

длины на единицу больше, чем данное. Новое слово будем пытаться свести к уже

имеющимся с помощью определяющих соотношений: x8= e , y8= e , x2= y2=(xy)3.

Если нам это удается, то для полученного “старого” слова

процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать по той же схеме, т.е.

дописываем буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В

итоге, каждое неприводимое слово будет новым элементом группы.

1. e

2. x

3. y

4. x2

5. xy= x2 yxyx

6. yx= x3 yxy

7. x3

8. x2 y =y x2 = y3

9. xyx

10. x y2 = y2 x

11. yxy= x5 yx= x3 yx y2

12. x4 =x y2 x= x2 y2

13. x3 y= x y3 =xy x2

14.x2 yx= yx y2= y3 x=y x3

15. xyxy=yxyx

16. x5 = x3 y2

17. x4 y = x2 y x2

18. x3 y x=xyx y2

19. x2 y xy=yxy x2

20. x6 = x4 y2

21. x5 y = x3 y x2 = x4 yxy

22. x4 yx= x2 yx y2

23. x7 = x5 y2

24. x6 y = x4 y x2

Данным методом мы доказали, что в нашей группе действительно 24 элемента.

1. e

2. x

3. y

4. x2

5. xy

6. yx

7. x3

8. x2 y

9. xyx

10.x y2

11.yxy

12.x4

13.x3 y

14.x2 yx

15.xyxy

16.x5

17.x4 y

18.x3 y x

19.x2 y xy

20.x6

21.x5 y

22. x4 yx

23. x7

24. x6 y

2.2 Определение порядков элементов.

1. o(e)=1

2. o(x)=8

3. o(y)=8

4. o(x2)=4 x2x2x2 x2=e

5. o(xy)=12

6. o(yx)=12

7. o(x3)=4

8. o(x2 y)=4

9. o(xyx)=8

10.o(yxy)=8

11.o(x4)=2

12.o(x3y)=8

13.o(x2yx)=4

14.o(xyxy)=6

15.o(yxyx)=4

16.o(x5)=8

17.o(x4y)=8

18.o(x3yx)=8

19.o(x2yxy)=8

20.o(x6)=4

21.o(x5y)=8

22.o(x4yx)=4

23.o(x7)=8

24.o(x6y)=4

В соответствие с полученными результатами переобозначим элементы группы:

Обозначение H1 H2 C1 L1 L2 C2 C3 H3 c4 H4 A1 H5 C5 F1 H6
Элемент x y x2 xy yx x3 x2 y xyx yxyx yxy x4 x3y x2yx xyxy x5
Обозначение H7 H8 H9 C6 H10 C7 H11 C8
Элемент x4y x3yx x2yxy x6 x5y x4yx x7 x6y

2.3. Вычисление таблицы умножений данной группы. Нахождение центра группы.

Ввиду большого количества громоздких вычислений, не будем приводить их.

Скажем только то, что они основываются на базовых соотношениях x8= e , y8= e ,

x2= y2=(xy)3, а также на ряде производных соотношений.

Применяя эти рассуждения, получим таблицу умножений. Приведем все полученные элементы, а затем рассмотрим примеры их получения:

e a1 C1 c2 c3 c4 c5 c6 C7 C8 H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10 H11 F1 L1 L2
a1 e C6 H11 C8 H5 F1 C1 L2 C3 H6 H7 H4 H3 C4 H1 H2 H9 H8 L1 C2 C5 H10 C7
C1 C6 A1 H6 H7 L1 C7 e F1 H2 C2 C3 H8 H9 H10 H11 C8 H4 H3 C4 H1 L2 H5 C5
C2 H11 h6 C6 H10 C3 H4 H1 H9 l1 A1 H5 C7 L2 C8 e C4 F1 C5 H2 C1 H3 H7 H8
C3 C8 H7 H10 C6 H4 H11 H2 H1 C1 C5 A1 C2 H10 L1 F1 e H5 C4 H8 L2 C2 H9 H6
C4 H5 L1 C3 H4 C5 A1 H10 C6 H3 H2 H1 C2 H11 F1 H8 H9 H6 H7 L2 C8 e C7 C1
C5 F1 C7 C8 H3 A1 H5 L2 H10 H4 H7 H9 H11 C2 e H2 H8 H1 H6 C1 C3 C4 C6 L1
C6 C1 E H1 H2 H10 L2 A1 C5 H7 H11 C8 H9 H8 L1 C2 c3 H3 H4 H5 H6 C7 C4 F1
C7 L2 F1 H2 H8 C6 H10 C5 C4 H9 C8 H3 H1 H6 C1 C3 F1 C2 H11 A1 H7 L1 e H5
C8 C3 H2 L2 C1 H3 C2 H7 H6 C6 F1 e H10 L1 H4 C5 A1 C4 H5 H9 C7 H11 H8 H1
H1 H6 C2 A1 H5 H2 H8 H11 H4 C4 C1 L1 C5 F1 H7 C6 H10 C7 L2 C8 e H9 C3 H3
H2 H7 C3 C5 A1 H8 H6 C8 H11 e L2 C1 C4 H5 H9 C7 C6 L1 H10 H3 F1 H1 H4 C2
H3 H4 H8 H10 L2 C2 C3 H9 H7 C7 H5 F1 C6 C1 H11 C4 C5 e A1 H1 L1 C8 H6 H2
H4 H3 H9 L2 H10 H11 C2 H8 H2 L1 F1 c5 C1 C6 C8 h5 C4 A1 e H6 C7 C3 H7 H1
H5 C4 H10 H4 H11 F1 e L1 C1 C2 H8 H6 C3 C8 C5 H9 H1 H7 H2 C7 H3 A1 L2 C6
H6 H1 H11 e C4 C5 H9 C2 H3 H5 C6 H10 F1 C5 H2 C1 L1 L2 C7 C3 A1 H8 C8 H4
H7 H2 C8 F1 e H9 H1 C3 C2 A1 C7 C6 H5 C4 H8 L2 C1 H10 L1 H4 C5 H6 H3 H11
H8 H9 H4 C4 H5 H2 H1 H3 C8 F1 C7 L2 e A1 H7 L1 H10 C1 C6 C2 C5 H2 H11 C3
H9 H8 H3 H5 F1 H1 H2 H4 C3 C5 L1 C7 A1 e H6 H10 L2 C6 C1 H11 C4 H7 C2 C8
H10 L1 C4 H9 H1 L2 C1 H5 A1 H6 H4 H11 H7 H2 C7 H3 C2 C8 C3 F1 H8 C6 C5 e
H11 C2 H1 C1 L1 C8 H3 H6 H8 H10 e C4 L2 C7 C3 A1 H5 C5 F1 H7 C6 H4 H2 H9
f1 C5 L2 H3 C2 e C4 C7 L1 H11 H9 H8 C8 C3 A1 H7 H6 H2 H1 C6 H4 H5 C1 H10
l1 H10 H5 H8 H6 C7 C6 C4 e H1 H3 C2 H2 H7 L2 H4 H11 C3 C8 C5 H9 C1 F1 A1
L2 C7 C5 H7 H9 C1 L1 F1 H5 H8 C3 H4 H6 H1 C6 C8 H3 H11 C2 e H2 H10 A1 C4

Основным методом проверки правильности составления является присутствие