Представления конечных групп (стр. 9 из 11)

По функции

, заданной на , определим функцию на правилом

полагая

для , не принадлежащих . Отметим, что является функцией классов на , даже еслм не является функцией классов на . Если не сопряжен ни с каким элементом из , то .

Лемма 5.1. Пусть

– функция классов на группе

, а

– функция классов на подгруппе

группы

. Тогда

Доказательство. Имеем

Вклад в сумму дают лишь такие пары

, что . Поэтому, суммируя по тем парам , для которых при некотором , получаем

Если

– характер некоторого представления группы , то назовем индуцированным характером группы и скажем, что индуцирован с . Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы .

Пусть

– множество представителей левых смежных классов группы по :

Для представления

подгруппы определим матрицу так:

где для

, не содержащихся в , полагаем . Это обобщение правого регулярного представления группы . Мы покажем, что

– представление группы

степени , где , а – степень . При фиксированных и множество содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по , поэтому среди матриц , лишь одна ненулевая. Аналогично, множество содержит по одному представителю из каждого правого смежного класса по и среди матриц , также лишь одна ненулевая. Обозначим -й блок матрицы через . Тогда

Покажем, что

. Имеется единственное число , такое, что , и единственное число , такое, что . Если , то . Если же , то и , поскольку . В любом случае и следовательно, . Поскольку , матрица невырожденна. Таким образом является представлением группы .

Пусть

– характер , а – характер . Тогда

Тем самым мы получим

. Назовем индуцированным представлением группы и будем говорить, что индуцировано с . Сказанное суммирует следующая

Теорема 5.2. Пусть

– группа и

– ее подгруппа. Пусть

– представление

степени

, а

– его характер. Тогда индуцированное представление

имеет степень

, где

, и характер