Представления конечных групп (стр. 11 из 11)

Пусть

– степень представления , т.е. . Мы можем считать, что . Покажем, что . Пусть , т.е. . Обозначим через циклическую группу, порожденную элементом . По теореме 3.3 эквивалентно прямой сумме представлений степени 1. Значит, для некоторой невырожденной матрицы

Пусть

– порядок элемента . Тогда . Взяв след в равенстве (6.3), получаем . Это означает, что , т.е. . Плскольку точно, . Поэтому и . Полученное противоречие доказывает теорему.

Таблицы характеров. Пусть

– группа и – классы сопряженных элементов в . Пусть – нерпиводимые характеры группы , а – представители ее классов сопряженных элементов. Отметим, что в силу теоремы 4.10 число неприводимых характеров совпадает с числом классов сопряженности. Упорядочим значения таким образом, чтобы получить таблицу характеров группы , в которой строки помечены различными неприводимыми характерами, начиная с , а столбцы – классами сопряженности группы , начиная с класса .

Различные строки таблицы характеров ортогональны между собой в смысле теоремы

, а в силу теоремы 4.9 столбцы ортогональны между собой в обычном смысле как векторы комплексного унитарного пространства.

Заключение

Таким образом, в данной работе мы показали, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.

Путем прямых вычислений доказали лемму:

для произвольной квадратной матрицы

и теорему: Пусть

– группа и

– ее подгруппа. Пусть

– представление

степени

, а

– его характер. Тогда индуцированное представление

имеет степень

, где

, и характер

Непосредственными вычислениями была устанавлена следующая лемма:

,

(2) если

имеют степень

, a

– степень

, то

Список использованных источников

Сыскин С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп. – Усп. мат. наук, 1980, т. 35, №5, (215), с. 181–212.

Монахов В.С. О трижды факторизуемых группах. – Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1981, №6, с. 18–23.

Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп // Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с. 189–195

Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2 // Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук. – 1996, №3-с. 21–24