Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 8 из 15)

Предположим вначале, что

- неабелева группа. Через обозначим центр . По индукции факторгруппа изоморфна

Где

Поскольку

- собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь

. Подгруппа характеристична в , a нормальна в . Поэтому нормальна в . Из простоты следует, что . Значит, , где . Л Пусть теперь - абелева группа. Так как подгруппа имеет индекс 20 в группе , то - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому и , т.е. лежит в центре .

Если

, то группа квазипроста, и или по , c.646. Но в этом случае . Значит, коммутант - собственная в подгруппа. По индукции

Так как

то

. По свойству коммутантов . Следовательно,

Случай

рассмотрен полностью.

Пусть

изоморфна . Группа допускает единственную факторизацию в виде групп Шмидта, и примарной группы, а именно: . Поэтому - 5-группа, изоморфна , и имеет порядок 5.

Предположим вначале, что

- неабелева группа, и пусть - центр . По индукции фактор-группа изоморфна

Поскольку

- собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа

характеристична в , а подгруппа нормальна в , поэтому нормальна в . Кроме того,

Следовательно,

, где .

Пусть теперь

- абелева группа. Так как имеет индекс 40 в группе , то - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому и нормальная в подгруппа порядка, делящегося на 3. Значит, и лежит в центре . Теперь

и для инволюции

подгруппа нормальна в . Следовательно,

и факторгруппа

проста.

Если

, то группа квазипроста, и по , с.646. Но в этом случае .

Пусть коммутант

- собственная в подгруппа. По индукции , где изоморфна или , а