Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 6 из 15)

теоремы. Достаточность вытекает из лемм 6-9. Докажем необходимость. Пусть вначале

- разрешимая группа, и . Если - не 2-группа, то легко проверить, что и по лемме 6 группа из пункта 2 теоремы.

Пусть

неразрешима. Если , то по лемме 8 теорема верна. Пусть . Если разрешима, то разрешима и группа , противоречие. Следовательно, подгруппа имеет четный индекс в группе . Так как сверхразрешима и , то - 2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть - централизатор подгруппы в группе .

Для каждого нечетного простого

подгруппа имеет четный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому для всех нечетных и индекс в группе четен или равен 1. Если , то в есть нормальная подгруппа нечетного порядка, противоречие. Значит, и содержится в центре .

Если

, то - квазипростая группа и не изоморфна . Так как , то по лемме 8 группа изоморфна или . Теперь по теореме из , с.646 группа изоморфна или .

Пусть

- собственная в подгруппа. Тогда имеет нечетный индекс и . Так как - собственная в подгруппа, то из леммы 8 получаем, что изоморфна , a изоморфна . Противоречие. Теорема доказана полностью.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

Задача С.Н. Черникова об описании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны, решена в 1975 г. С.С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов рассматривались А.В. Сидоровым.

В настоящей статье изучаются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаны следующие две теоремы.

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1)

или , где - 5-группа;

2)

, где - 3-группа.

C.

- разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда бипримарна, и - дисперсивная группа порядка , где .

Далее, если

, то

и

делит . Если , то

группа Шмидта, и Q - элементарная абелева группа или группа кватернионов.

Здесь

- наибольшая нормальная в -подгруппа; - подгруппа Фиттинга группы ; - циклическая группа порядка .

1.

конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

Осуществляется непосредственной проверкой.

Группа

называется -замкнутой, если в ней силовская -подгруппа нормальна, и -нильпотентной, если в ней имеется нормальное дополнение к силовской -подгруппе. Свойства групп Шмидта хорошо известны.

2.

- конечная группа и - простое число, делящее порядок . Если в нет -замкнутых подгрупп Шмидта, то -нильпотентна.