Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 5 из 15)

1. Пусть

- элементарная абелева группа порядка . В группе ее автоморфизмов существует самоцентрализуемая циклическая подгруппа порядка см. , с.187. Число 11 является показателем 2 по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе существует группа Фробениуса, удовлетворяющая заключению леммы, и не являющаяся группой Шмидта.

Лемма 7.

и - простая неабелева группа, то .

Если силовская 2-подгруппа в

типа то по теореме из . Но в этой группе есть несверхразрешимая подгруппа четного индекса в нормализаторе силовской 2-подгруппы. По лемме 3 силовская 2-подгруппа в элементарная абелева. В группах Янко и Ри есть неразрешимые подгруппы четного индекса в централизаторах инволюций.

Рассмотрим группу

, где и . Если , то - несверхразрешимая подгруппа четного индекса. Следовательно, . В силовская 2-подгруппа имеет порядок 4 и несверхразрешимые подгруппы изоморфны знакопеременным группам и .

Рассмотрим

. Если не простое, то содержит подгруппу , , четного индекса, которая несверхразрешима. Значит, - простое. Несверхразрешимыми в являются только нормализаторы силовских 2-подгрупп.

Из теоремы Уолтера следует, что других простых групп, кроме рассмотренных, нет.

Через

обозначим разрешимый радикал группы .

8.

и , то .

Пусть

- минимальная нормальная в подгруппа. Тогда . Если , то индекс в четен и должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому - простая подгруппа и изоморфна или . Теперь нечетен, и - подгруппа из .

Если

, то , поэтому .

Пусть

, - простое. Так как - циклическая группа порядка , то либо совпадает с , либо G совпадает с . Пусть и - подгруппа из N порожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм группы централизует , см. , с.317, то по теореме Машке в силовской 2-подгруппе группы есть подгруппа индекса 2 в , допустимая относительно . Теперь - - не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в и не принадлежит .

9.

для

.

Пусть

- подгруппа четного индекса в группе , где , и пусть - центральная инволюция в . Если , то - подгруппа в четного индекса. Так как , то сверхразрешима, поэтому и сверхразрешима.

Пусть

не принадлежит . Тогда . Допустим, что несверхразрешима. Так как - подгруппа из , то из доказательства леммы 7 следует, что изоморфна или . Но теперь силовская 2-подгруппа в элементарная абелева, противоречие.