Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 3 из 15)

Через

обозначается симметрическая группа степени 4. Конечная группа называется -свободной, если в ней нет подгрупп и таких, что нормальна в и изоморфна .

2.

, то --- -свободна.

. Допустим противное, т.е. предположим, что существует секция

, изоморфная . Тогда существует подгруппа индекса 2 в и изоморфна . Так как несверхразрешима, то - несверхразрешимая подгруппа четного в индекса. Противоречие. Лемма доказана.

Конечная группа называется 2-нильпотентной, если в ней существует нормальное дополнение к силовской 2-подгруппе. Полупрямое произведение нормальной подгруппы

и подгруппы обозначается через .

3.

и не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в элементарная абелева или типа .

Если

не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , см. , с. 192. Так как несверхразрешима, то индекс в группе нечетен, и - силовская 2-подгруппа из . Из свойств подгрупп Шмидта следует, что элементарная абелева или типа .

4.

- разрешимая группа и , то 2-длина группы не превосходит 1.

следует из леммы 3 и леммы 3.4 из .

5.

- разрешимая группа и . Если и силовская 2-подгруппа из неабелева, то центр совпадает с центром .

Если G - 2-группа, то лемма справедлива.

Пусть

не 2-группа. По лемме 4 подгруппа нормальна в . Через обозначим -холловскую подгруппу из . Так как имеет четный индекс, то сверхразрешима и . Теперь содержится в центре , а поскольку , то - 2-группа. Группа не является 2-нильпотентной, поэтому существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта . Поскольку не 2-нильпотентна, то индекс нечетен и - силовская 2-подгруппа из . Следовательно, содержится в и по лемме 2.2 получаем, что содержится в . Лемма доказана.

6.

- разрешимая группа и . Тогда и только тогда , когда - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Пусть

- разрешимая группа, и . Из лемм 3,4 и 5 получаем, что силовская 2-подгруппа нормальна в и является элементарной абелевой подгруппой. Так как - не 2-группа, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта , где - силовская 2-подгруппа из . Подгруппа несверхразрешима, поэтому ее индекс нечетен и силовская в . Из свойств групп Шмидта следует, что - минимальная нормальная в подгруппа порядка , и - показатель 2 по модулю , где делит . Поэтому - минимальная нормальная в подгруппа.