Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 14 из 15)

Пусть минимальная нормальная в

подгруппа не принадлежит . Так как , то индекс , - простое число. Теперь неразрешима и является прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп: Поскольку замкнут относительно прямых произведений, то не принадлежит и индекс в группе должен быть примарным. Поэтому - простая неабелева группа.

Централизатор

нормален в и . Поэтому , а так как индекс непримарен, то .

3. класс

разрешим и - простая неабелева группа из , то:

1)

, , и или - простое число;

2)

, и - простое число;

3)

, , ;

4)

, или , или соответственно.

Здесь

и - подгруппы, зафиксированные в лемме 1. , , - циклическая, элементарная абелева, диэдральная группы порядка , - симметрическая груша степени 4.

По лемме 1 простая группа

, где , а . Опираясь на классификацию конечных простых групп, Гуральник перечислил все простые группы с подгруппой примарного индекса. Учитывая разрешимость подгруппы из этого списка, получаем утверждение нашей леммы.

Теоремы D. Пусть

- минимальная нормальная в подгруппа. По лемме 2 подгруппа простая, и

Так как

не принадлежит , то существует подгруппа , . Теперь , где , и . Так как разрешима, то по лемме 3 подгруппа изоморфна одной из четырех серий групп.

Пусть

и простое число или 9. Предположим, что - собственная в подгруппа. Так как - циклическая группа порядка , то делит . Кроме того, индекс в должен быть примарным, а поскольку

,

то при

простое число должно делить , что невозможно. Для числа и взаимно просты. При группа удовлетворяет условию теоремы. Следовательно, если , то либо , либо , a .

Пусть

и - простое число, где . Так как , то индекс в равен и или .