Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (стр. 13 из 15)

Пусть теперь

. Тогда - силовская -подгруппа группы , и группа имеет единичную -длину по лемме 3.2 . Поэтому -замкнута, а по лемме 8 максимальная подгруппа из содержится в . Так как , то по свойствам групп Шмидта

Первое исключается тем, что

недисперсивна. Теперь - -замкнутая группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Пусть . Так как в имеется группа Шмидта , то ненильпотентна, и не является силовской в . Значит, подгруппа имеет в непримарный индекс, и по условию теоремы сверхразрешима. Так как нормальна в , то нормальна в , поэтому содержится в . Следовательно, и в . Теперь из следует, что силовская -подгруппа в имеет простой порядок.

Итак, в любом случае

- дисперсивная группа порядка . Последние два утверждения теоремы 2 вытекают из лемм 9 и 10.

Теорема доказана.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Пусть

- некоторый класс конечных групп. Через обозначается совокупность минимальных не -групп, а через - множество всех тех конечных групп, у которых каждая подгруппа непримарного индекса принадлежит . Ясно, что наследственный класс и . В настоящей заметке доказывается следующая

D. класс

замкнут относительно прямых произведений и разрешим. Если в конечной неразрешимой группе нет неединичных нормальных -подгрупп, то изоморфна одной из следующих групп: и - простое число или 9; или и .

Формации

и нильпотентных и сверхразрешимых групп удовлетворяют условиям теоремы. Но класс разрешим , а для класса теоремы получается описание конечных неразрешимых групп, у которых все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы .

Все обозначения и определения общепринятые, их можно найти в .

1. конечная неразрешимая группа

принадлежит , то , где , а и .

Если

, то в качестве подгруппы можно выбрать всю группу , а подгруппа будет единичной. Пусть и пусть - собственная в подгруппа, которая является минимальной не -группой. По условию , - простое число. Теперь для силовской -подгруппы из получаем, что . Из неразрешимости следует, что непримарна и .

2. класс

замкнут относительно прямых произведений, и - неразрешимая группа, принадлежащая . Если - минимальная нормальная в подгруппа, то либо , либо - простая неабелева группа, и , где .