О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 9 из 17)

Пусть теперь,

. Так как --- нильпотентная группа, то ввиду (4), --- силовская -подгруппа группы . Поскольку и , то . Пусть --- максимальная подгруппа группы и , где . Согласно (3), и . Поскольку , то

и поэтому

. Следовательно, , противоречие. Значит, .

(6) Заключительное противоречие.

Пусть

--- холлова -подгруппа группы . Допустим, что . Тогда . Поскольку по условию, , для некоторого , и , то согласно лемме , . Так как и , то . Значит, и , противоречие с (2). Следовательно, . По условию,

,

где

. Поскольку , то

Тогда

, и поэтому , что противоречит (5). Это противоречие завершает доказательство теоремы.

Пусть

--- группа и

--- ее подгруппа Фиттинга. Тогда

является сверхразрешимой в том и только том случае, когда

, где

и

--- такие сверхразрешимые подгруппы группы

, что

и

-перестановочна с каждой подгруппой группы

и

-перестановочна с каждой подгруппой группы

.

Доказательство. Необходимость. Пусть

--- сверхразрешимая группа. Тогда ввиду леммы , . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда для некоторого простого числа . Пусть --- такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда , и сверхразрешимы и каждая подгруппа группы перестановочна с каждой подгруппой группы .

Достаточность. Пусть

, где и --- сверхразрешимые подгруппы, --- подгруппа Фиттинга группы , и -перестановочна с каждой подгруппой группы и -перестановочна с каждой подгруппой группы . Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть --- контрпример минимального порядка. Поскольку , то разрешима. Тогда:

(1) Для любой неединичной нормальной в

подгруппы

факторгруппа

сверхразрешима.

Ясно, что

--- произведение сверхразрешимых подгрупп и . Пусть и . Так как по условию для некоторых ,