О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 6 из 17)

Предположим, что это не верно. Тогда

. Отсюда следует, что , и поэтому ввиду (5) и леммы , , что невозможно в силу (4). Значит, --- силовская -подгруппа группы .

(7) Заключительное противоречие.

Без ограничения общности мы можем предположить, что

. Так как сверхразрешима, то ввиду (5), имеет нормальную подгруппу порядка . Согласно (6), Пусть --- холлова -подгруппа группы и для некоторого , . Поскольку

то

. Согласно (6), силовская -подгруппа группы содержится в Тогда и поэтому что невозможно в силу (4). Это противоречие завершает доказательство теоремы.

Пусть

--- группа и

--- ее подгруппа Фиттинга. Тогда

является сверхразрешимой в том и только том случае, когда

, где

и

--- нильпотентные подгруппы группы

и

имеет такой главный ряд

что каждая

-перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех .

Доказательство. Необходимость. Предположим, что

--- сверхразрешимая группа. Тогда согласно лемме , . Пусть и --- такая подгруппа группы , что и для каждой собственной подгруппы группы . Тогда . Так как подгруппы и нильпотентны, то --- нильпотентная подгруппа. Рассмотрим главный ряд группы , проходящий через

Поскольку

--- простое число для каждого , то этот ряд является главным рядом группы и каждая подгруппа перестановочна со всеми подгруппами группы для каждого .

Достаточность. Предположим теперь, что

, где --- нильпотентные подгруппы группы и группа имеет такой главный ряд

что каждый член этого ряда

-перестановочен с каждой подгруппой группы . Покажем, что сверхразрешима. Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть --- контрпример минимального порядка. Без ограничения общности мы может предположить, что и для каждой собственной подгруппы группы . Для начала заметим, что поскольку группа является произведением двух нильпотентных подгрупп, то по известной теореме Кегеля , группа разрешима. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной в

подгруппы

факторгруппа

сверхразрешима.

Ясно, что

где и нильпотентны. Рассмотрим в ряд

Без ограничения общности, мы можем предположить, что все члены этого ряда различны.

Пусть

. Так как по условию для некоторого ,

то мы имеем

где

и . Это показывает, что каждый член ряда (2) -перестановочен со всеми подгруппами группы .