О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 3 из 17)

Формации --- это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть

--- некоторый класс групп и --- группа, тогда:

--- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если --- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация

называется насыщенной, если всегда из следует, что и .

Класс групп

называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Произведение формаций

и состоит из всех групп , для которых .

Введение

Понятие

-перестановочной подгруппы оказалось полезным инструментом в вопросах классификации непростых конечных групп. Отметим, в частности, что классическая теорема Холла о разрешимых группах на языке -перестановочных подгрупп может быть сформулирована так: Группа

разрешима тогда и только тогда, когда любые ее две силовские подгруппы

-перестановочны. Согласно теореме 3.8 из группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах . Целью данной главы является нахождение новых признаков сверхразрешимости группы на основе условий -перестановочности некоторых ее подгрупп.

1. Факторизуемые группы с

-перестановочными подгруппами

В данном разделе, развивая основные наблюдения работы, мы дадим новые критерии сверхразрешимости групп.

Пусть

--- группа и

--- ее подгруппа Фиттинга. Тогда

является сверхразрешимой в том и только том случае, когда

, где

и

--- такие сверхразрешимые подгруппы группы

, что каждая подгруппа группы

-перестановочна с каждой подгруппой группы

.

Доказательство. Необходимость. Пусть

--- сверхразрешимая группа. Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда для некоторого простого числа . Пусть --- такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда , и сверхразрешимы и каждая подгруппа группы перестановочна с каждой подгруппой группы .

Достаточность. Предположим, что

--- произведение сверхразрешимых подгрупп и , --- подгруппа Фиттинга группы и каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы , но не является сверхразрешимой группой. Допустим, что --- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Если

--- максимальная подгруппа группы такая, что и либо , либо , то сверхразрешима.

Предположим, что

. Тогда по тождеству Дедекинда имеем

.

Так как

то каждая подгруппа группы

-перестановочна с каждой подгруппой группы . Поскольку , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.

(2) Для любой неединичной нормальной в

подгруппы факторгруппа сверхразрешима.