О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 15 из 17)

(3) Заключительное противоречие.

Если

, то ввиду (2), разрешима и поэтому --- разрешимая группа, противоречие. Значит, . Путсь --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда ввиду (1), . Допустим, что . Тогда . Так как по условию, разрешима, то разрешима и поэтому согласно (2), --- разрешимая группа, противоречие. Следовательно, . Поскольку --- холлова -подгруппа группы , то --- холлова -подгруппа группы . Ясно, что , и по тождеству Дедекинда, . Путсь --- силовская -подгруппа группы , --- силовская -подгруппа группы такая, что . Тогда по условию, , и поэтому . Следовательно, теорема справедлива для группы и поэтому разрешима. Следовательно, --- разрешимая группа, противоречие с выбором группы . Лемма доказана.

Пусть

--- группа и

--- ее подгруппа Фиттинга. Если

, где

и

--- сверхразрешимые подгруппы группы

, каждай примарная циклическая погруппа группы

-перестановочна с каждой силовской подгруппой группы

и каждай примарная циклическая погруппа группы

-перестановочна с каждой силовской подгруппой группы

, то

сверхразрешима.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть

--- минимальный контрпример. Тогда:

(1) Для каждой нормальной неединичной подгруппы

в

фактогруппа

сверхразрешима.

Пусть

--- неединичная нормальная подгруппа в . Заметим, что --- произведение сверхразрешимых подгрупп и . Пусть --- примарная циклическая подгруппа группы . Ясно, что для некоторой примарной циклической подгруппы группы , . Поскольку , то для некоторого , имеющего примарный порядок и для некоторого , и поэтому . Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда для некоторой силовской -подгруппы группы . Так как по условию, для некоторого , и поэтому

Ясно, что

. Итак, теорема справедлива для . Но , и ввиду выбора группы , мы имеем (1).

(2)

разрешима.

Допустим, что

не является разрешимой группой.

Если

, то ввиду (1), сверхразрешима и поэтому разрешима, противоречие с выбором группы . Следовательно, . Пусть --- наибольший простой делитель . Без ограничения общности, мы можем предположить, что . Пусть --- -подгруппа группы . Тогда по условию, сверхразрешима. Ввиду леммы , . Следовательно, имеет такую минимальную нормальную подгруппу, скажем , что . Если , то ввиду леммы , . Поскольку теорема справедлива для , то сверхразрешима и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Ввиду (1), разрешима, противоречие. Пусть и пусть , где --- силовские подгруппы группы . Тогда по условию, перестановочна со всеми , . Допустим, что . Поскольку теорема справедлива для и , то мы заключаем, что сверхразрешима. Но , и поэтому ввиду леммы и (1), мы снова приходим к противоречию. Допустим теперь, что . Ввиду леммы , мы можем предположить, что . Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда , и . Поскольку , то , и поэтому ввиду (1), разрешима, противоречие. Это доказывает (2).