О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 14 из 17)

(i)

-сверхразрешима и наименьшая нормальная подгруппа группы , факторгруппа по которой -сверхразрешима;

(ii) если

то экспонента подгруппы равна ; если то экспонента подгруппы равна 2 или 4;

(iii)

--- главный фактор группы .

Ясно, что

. Пусть и пусть --- такое простое число, что , --- силовская -подгруппа группы . Пусть --- некоторая такая холлова -подгруппа группы , что . Тогда . Рассуждая как выше, видим, что -сверхразрешима. Тогда в группе имеется такая нормальная подгруппа , что и поэтому , где . Ясно, что или . Согласно лемме , для некоторого , мы имеем . Тогда по условию, . Так как субнормальна в и , то , и поэтому . Следовательно, --- циклическая группа. Ясно, что -сверхразрешима и поэтому -сверхразрешима, противоречие. Теорема доказана.

Прежде, чем дать доказательство следующего основного результата этого раздела, нам необходимо установить справедливость следующей леммы.

Пусть

--- простое число,

, где

,

--- разрешимая группа,

-перестановочна с каждой силовской подгруппой группы

, где

--- подгруппа Фиттинга группы

. Тогда

разрешима.

Доказательство. Предположим, что эта лемма не верна и пусть группа

--- контрпример минимального порядка. Тогда:

(1)

не простая группа.

Предположим, что

--- простая группа. Тогда . Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда по условию . Действительно, поскольку для каждого мы имеем

где

и . Тогда ввиду леммы , непроста.

(2)

--- разрешимая группа для каждой неединичной нормальной подгруппы

группы

.

Пусть

--- неединичная нормальная подгруппа группы . Если , то разрешима.

Пусть

. Тогда --- произведение подгруппы простого порядка и разрешимой группы . Пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда для некоторой силовской -подгруппы группы , и поэтому по условию,

для некоторого

. Итак, теорема справедлива для факторгруппы . Но , и поэтому ввиду выбора группы , факторгруппа разрешима.