О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 13 из 17)

Поскольку

, то . Значит, теорема справедлива для группы , и поэтому разрешима. Следовательно, --- разрешимая группа, что невозможно в силу (2). Этим противоречием завершается доказательство теоремы.

2. Факторизуемые группы с

-перестановочными силовскими подгруппами

Строение конечной группы тесно связано с условиями, налагаемыми на силовские подгруппы некоторых выделенных подгрупп этой группы. Отметим, в частности, что в работе Хупперта, было доказано, что разрешимая группа

является свехразрешимой, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из перестановочны со всеми членами некоторой силовской системы группы . Целью данного раздела является дальнейшее изучение строения факторизуемых групп, у которых силовские подгруппы некоторой выделенной подгруппы группы перестановочны или -перестановочны с некоторой системой ее подгрупп.

Пусть

--- разрешимая группа и

--- произведение

-сверхразрешимых подгрупп

и

взаимно простого порядка. Предположим, что

делит порядок подгруппы

и

(1) если

, то и каждая ее подгруппа простого порядка перестановочна с каждой силовской подгруппой группы ;

(2) если

, то и каждая ее подгруппа порядка 2 и 4 перестановочна с каждой силовской подгруппой группы .

Тогда

--- -сверхразрешимая группа.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть

--- контрпример наименьшего порядка. Пусть --- класс всех -сверхразрешимых групп.

Пусть

--- -абнормальная максимальная в подгруппа. Тогда для некоторого или для некоторого и . Предположим сначала, что . Поскольку делит и согласно теоремы Холла, имеет такой элемент , что , то без ограничения общности мы можем предположить, что . Покажем, что --- -сверхразрешимая группа. Используя тождество Дедекинда, мы имеем , где и -сверхразрешимые подгруппы группы взаимно простых порядков. Если является -подгруппой, то -группа и поэтому -сверхразрешима. Предположим теперь, что . Пусть --- произвольная подгруппа группы простого порядка (или 4, в случае, если ). И пусть --- силовская -подгруппа группы . Тогда по условию, и поскольку , то . Итак, теорема справедлива для группы и ее подгрупп и . Но и поэтому согласно выбора группы , мы заключаема, что группа -сверхразрешима. Пусть теперь, , где . Рассуждая как выше, мы можем показать, что -сверхразрешима. Следовательно, каждая -абнормальная максимальная в подгруппа -сверхразрешима.

Так как

разрешима, то ввиду леммы , имеет нормальную -подгруппу , удовлетворяющую следующим условиям: