О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп (стр. 10 из 17)

и

то мы имеем

и

где

и . Это показывает, что подгруппа -перестановочна с каждой подгруппой группы и каждая подгруппа группы -перестановочна с подгруппой . Но поскольку согласно лемме ,

то по выбору группы

мы заключаем, что сверхразрешима.

(2) Группа

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

и

, где

--- силовская

-подгруппа группы

и

--- такая максимальная в

подгруппа, что

и

.

Пусть

--- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть --- такая максимальная подгруппа в , что и пусть . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем . Так как разрешима, то --- элементарная абелева -группа для некоторого простого и поэтому и . Значит,

.

Следовательно,

--- сверхразрешимая группа и ввиду леммы .

Так как

, то абелева. Поскольку --- неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то --- циклическая группа. Ввиду леммы , --- силовская -подгруппа группы . Согласно (1) и выбора группы , мы имеем .

(3)

или

.

Допустим, что

и . Пусть --- силовская -подгруппа группы , где . Тогда --- циклическая группа. Ввиду леммы , , где и --- силовские -подгруппы групп и соответственно и . Тогда либо , либо . Пусть, например, . Так как , то . Поскольку сверхразрешима, то ввиду леммы , . Тогда . Так как , то . Это показывает, что --- абелева группа экспоненты, делящей , и ввиду леммы , сверхразрешима, что противоречит выбору группы . Значит, либо , либо .

(4) Заключительное противоречие.

Пусть

. Тогда . Так как сверхразрешима, то в группе содержится минимальная нормальная подгруппа простого порядка .

Предположим, что

. Пусть --- холлова -подгруппа группы . Тогда для некоторого , . Поскольку