Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 6 из 15)

Можно дать следующее определение прямого произведения, эквивалентное начальному. Группа

является прямым произведением своих подгрупп и , если:

– каждый элемент

единственным образом представим в виде , где , ;

– каждый элемент подгруппы

перестановочен с каждым элементом подгруппы .

Определение прямого произведения сформулировано для двух подгрупп. Для большего числа сомножителей определение выглядит так.

Минимальной нормальной подгруппой группы

называют такую нормальную подгруппу группы , что и в нет нетривиальных нормальных подгрупп группы . Запись означает, что – минимальная нормальная подгруппа группы . Таким образом, если , то и из условий следует, что или . Очевидно, что в каждой неединичной конечной группе имеется минимальная нормальная подгруппа.

Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.

Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G. Цоколь группы G обозначают через

. Таким образом,

Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.

Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка

.

Собственная подгруппа

неединичной группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы

и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов

и называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы

, называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом,

Для любой неединичной подгруппы

можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер

такой, что , то группа называется разрешимой.

Говорят, что подгруппа

группы дополняема в , если существует такая подгруппа , что и . В этом случае подгруппу называют дополнением к подгруппе в группе .

Пусть

– множество всех простых чисел, а – некоторое множество простых чисел, т.е. . Дополнение к во множестве обозначим через , т.е. .

Зафиксируем множество простых чисел

. Если , то число называется -числом.

Подгруппа

группы называется -подгруппой, если есть -число. Подгруппа называется -холловой подгруппой, если есть -число, а индекс есть -число. Таким образом, -холлова подгруппа – это такая -подгруппа, индекс которой не делится на простые числа из .