Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 14 из 15)

Из р-разрешимости

следует р-разрешимость . Из р-разрешимости следует существование в p-дополнения .

Из условия теоремы следует, что подгруппы

из силовской р-подгруппы перестановочны с . По Теореме 2.1 .

Теорема доказана.

Теорема 4.4 Группа

сверхразрешима тогда и только тогда, когда каждая её циклическая подгруппа -перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы .

Теорема 4.5 Группа

является нильпотентной тогда и только тогда имеет нильпотентную абнормальную подгруппа такую, что каждые две силовские подгруппы группы – -перестановочны.

Доказательство:

Предположим, что утверждение ложно и пусть группа

имеет минимальный порядок. Тогда

(1)

– нильпотентна для нормальной подгруппы группы .

Пусть

И силовская -подгруппы в и силовская -подгруппа в соответственно. Пусть силовская -подгруппа в и силовская -подгруппа в . Тогда и – силовские подгруппы группы . Следовательно по предположению, что и – -перестановочные, а также по Теореме 3.6 – -перестановочна с . является нильпотентной подгруппой в и по Лемме 2.16 абнормальна в . Таким образом, наше предположение верно для . Поскольку , – нильпотентная по выбору группы .

(2)

для каждой силовской подгруппы группы .

Для любого

существует элемент такой, что , а также . Следовательно, .

(3)

является разрешимой.

Пусть

– простой делитель и силовская -подгруппа в . Пусть силовская -подгруппа в . Тогда по второму пункту доказательства , где , тогда по Лемме 2.17 , и следовательно . Так как – нильпотентная, то , а также . Таким образом, имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу. По (1) – сверхразрешима, отсюда получаем (3).

(4)

, где – нильпотентная максимальная подгруппа группы и является максимальной нормальной подгруппой в , где .

В виду (1) и Леммы 2.15

имеет уникальную минимальную нормальную подгруппу и . Теперь используя Лемму 2.14 мы получаем (4).

(5) Конечное противоречие.

По предположению

абнормальна в , таким образом по Лемме 2.16 – картерова подгруппа в . Ясно, что также является картеровой подгруппой в . Следовательно, по Лемме 2.14 получаем , для некоторого . Теперь предположим, что – силовская -подгруппа в , где – простой делитель , отличный от . Тогда , и по (2), , что противоречит Лемме 2.18.