Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 12 из 15)
Пусть
– инвариантная подгруппа 
, тогда 
для 
и 
Подгруппа
перестановочна с подгруппой 
.Действительно,
Если
является силовской р-подгруппой в 
, то по теореме 4.1 
p-разрешима, а следовательно, и p-разрешима.Если
не является силовской в , то она максимальная в силовской подгруппе 
. В том случае, когда 
, по индукции 
и 
p-разрешимы.Когда
. По подсчёту порядков имеем 
и
– максимальная подгруппа в силовской р-подгруппе из 
.Если
, то выполняются для подгруппы условия теоремы в виду 
следовательно, по индукции
p-разрешима.В случае
имеем
и из факторизации
следует 
, что для циклической 
невозможно.Мы показали, что существует р-разрешимая инвариантная подгруппа группы
. Тогда минимальная инвариантная подгруппа 
группы 
– либо р-подгруппа, либо 
-подгруппа.Пусть
– 
-подгруппа, тогда, согласно индукции, теорема верна.Если
– 
-подгруппа, то 
будет порядка 
ввиду цикличности 
. Централизатор 
содержит 
. Как ранее показано, любая инвариантная подгруппа группы 
p-разрешима, поэтому из р-разрешимости 
и 
следует р-разрешимость группы .Если
, т.е. 
единственная значит является p-разрешимой.Теорема доказана.
Теорема 4.3 Пусть в группе G P – силовская р-подгруппа,
. Если для некоторого фиксированного натурального числа 
подгруппа 
с каждой силовской подгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешима с 
.Доказательство:
Докажем теорему методом индукции по порядку группы G. Пусть G – минимальный контрпример, т.е. для всех групп порядков меньше
теорема верна. Покажем справедливость её для группы G.Вначале покажем, что в группе G нет инвариантных
-подгрупп. Действительно, пусть N – такая подгруппа, то, так как для 
условия теоремы выполняются, 
и G будут р-разрешимы.По теореме 2.1 группа G непроста.
Покажем, что любая инвариантная в G подгруппа N р-разрешима. Пусть N – инвариантная подгруппа группы G, индекс которой в G равен степени р. Тогда
для любой силовской подгруппы Q, порядок которой взаимно прост с р. Выберем в P такую максимальную подгруппу , чтобы 
, и рассмотрим подгруппу .Если
, то для подгруппы условия теоремы выполняются.Действительно, возьмём подгруппу
, имеем 
и
Следовательно, подгруппа
, а также подгруппа р-разрешимы.Если
, то по Теореме 4.2 сама группа p-разрешима.
Пусть индекс подгруппы
в группе 
не равен степени р, тогда 
Рассмотрим подгруппу
. Для 
условия теоремы выполняются. Пусть – подгруппа порядка 
из Р, тогда имеем 
и
